"Άλμπερτ Αϊνστάιν- Ο δημιουργός της σύγχρονης Φυσικής".

12η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 14-12-2017

Στη σημερινή μας συνάντηση παρακολουθήσαμε και σχολιάσαμε το ντοκιμαντέρ  "Άλμπερτ Αϊνστάιν- Ο δημιουργός της σύγχρονης Φυσικής". 
Είδαμε την πορεία της προσωπικής ζωής αλλά και της επιστημονικής σκέψης του μεγάλου επιστήμονα, μέσα από την οποία προσπαθήσαμε να κατανοήσουμε σε αδρές γραμμές, τις διαφορές από τις Νευτώνειες θεωρίες για το χώρο, το χρόνο, τη βαρύτητα, το φως. Τι λέει δηλαδή με απλά λόγια η Ειδική και η Γενική θεωρία της Σχετικότητας, βάζοντας παρακαταθήκες για την διεξοδική επιστημονική ανάλυση του θέματος αργότερα στο Λύκειο και ακόμα αργότερα στο Πανεπιστήμιο.
Σε επόμενη συνάντηση θα παρακολουθήσουμε την ταινία "Einstein and Eddington" στην οποία εξιστορείται η περιπέτεια επαλήθευσης και αποδοχής από την επιστημονική κοινότητα της θεωρίας περί καμπύλωσης του χωροχρόνου με την καθοριστική συνεισφορά του Άγγλου αστρονόμου Eddington, μέσα στο ταραχώδες και δραματικό σκηνικό της εμπόλεμης κατάστασης Αγγλίας - Γερμανίας στον Α παγκόσμιο πόλεμο και κάτω από δραματικές και αντίξοες συνθήκες ακόμα και του καιρού, ο οποίος τελικά επέτρεψε οριακά την πρώτη αστρονομική παρατήρηση επαλήθευσης της καμπύλωσης του φωτός μακρινού άστρου, όταν το φως αυτό συναντήσει τον Ήλιο, ως αποτέλεσμα της καμπύλωσης του χωροχρόνου που προκαλείται από το μεγάλο βαρυτικό πεδίο του Ηλίου. 
Θα συζητήσουμε επίσης τι είναι οι μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες και ποια είναι η σχέση τους με τις θεωρίες Σχετικότητας του Αϊνστάιν αλλά και τις σύγχρονες κοσμολογικές αναζητήσεις.  

Η χρυσή τομή

11η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 14-12-2017

Σήμερα ασχοληθήκαμε με τη χρυσή τομή. Αναλύσαμε την αλγεβρική και τη γεωμετρική της προσέγγιση και είδαμε τις εφαρμογές της στη Φύση, την Τέχνη αλλά και το ανθρώπινο σώμα.

Το "σφυρί του Davinci"

10η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 8-12-2017
Σήμερα συναρμολογήσαμε ένα μοντέλο προσομοίωσης της συσκευής "σφυρί του Νταβίντσι" (Davinci cam hammer). (Μία συσκευή ανά 4 μαθητές).

 Η συσκευή αυτή μετατρέπει την περιστροφική περιοδική κίνηση ενός κοχλία σε ευθύγραμμη μιας εφαπτόμενης ράβδου. Για την μοντελοποίηση ενός φαινομένου στο οποίο μία κίνηση (του κοχλία) ενεργεί ως αίτιο και παράγει μια άλλη κίνηση της (ράβδου) ως αποτέλεσμα, χρειαζόμαστε την έννοια της συνάρτησης. Από τις κατάλληλες μετρήσεις προέκυψε ο τύπος και η γραφική παράσταση της συνάρτησης του ύψους της ράβδου σε σχέση με τη γωνία του κοχλία.
Σημ. Ο κοχλίας της συγκεκριμένης συσκευής, είναι τμήμα της σπείρας του Αρχιμήδη. 

Συζητήσαμε τις προεκτάσεις χρήσης αυτής της συσκευής (ραπτομηχανές, κινητήρες αυτοκινήτων κλπ) και παρακολουθήσαμε σχετικά video.

To λήμμα του Sperner

9η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 8-12-2017

Σήμερα προσπαθήσαμε να δώσουμε τη μαθηματική μοντελοποίηση της ευθύγραμμης εκδοχής του  λήμματος Sperner.(Στοιχειώδης εισαγωγή στη μαθηματική επαγωγή).
Επίσης συζητήσαμε το "δίλημμα του φυλακισμένου", βασικό και ενδεικτικό πρόβλημα εισαγωγής στη θεωρία παιγνίων.
Κατόπιν παρακολουθήσαμε τμήμα της ταινίας "Donald in MathLand" με βάση την οποία σε επόμενη συνεδρίαση θα συζητήσουμε το θέμα : "Η χρυσή τομή στη Φύση, την Τέχνη και τα Μαθηματικά" .

Θεωρία Παιγνίων

8η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 1-12-2017 

Στη σημερινή μας συνάντηση ασχοληθήκαμε με ένα αθώο φαινομενικά παιχνίδι, αρχικά στην μονοδιάστατη του και κατόπιν στη δισδιάστατη εκδοχή του. 
Το παιχνίδι αυτό είναι η υλοποίηση μιας από τις απλούστερες μορφές του λήμματος Sperner το οποίο μαζί με το τοπολογικό θεώρημα του Βrower χρησιμοποιήθηκαν από τον Τζων Φορμπς Νας (John Forbes Nash) για την διατύπωση της έννοιας της Ισορροπίας Nash στη Θεωρία Παιγνίων . 
Η θεωρία παιγνίων είναι ουσιαστικά η μαθηματική μελέτη διαμόρφωσης μιας πετυχημένης στρατηγικής σε ένα παιχνίδι όπου κάθε παίκτης δεν γνωρίζει τις επιλογές των υπόλοιπων ανταγωνιστών του, αλλά επηρεάζεται από αυτές, Στη θέση του παίκτη, μπορεί να είναι ένα άτομο, ένα κράτος, ή μια ομάδα ανθρώπων κοινών συμφερόντων.
Σε κάποια συνάντηση θα δούμε και θα σχολιάσουμε, τη σχετική ταινία που αναφέρεται στη ζωή του Nash (A beautiful mind).
Αξίζει να σημειωθεί ότι ο γνωστός απόφοιτος του Βαρβακείου (1998) Κωνσταντίνος Δασκαλάκης, καθηγητής σήμερα στο Τεχνολογικό Ινστιτούτο Μασαχουσέτης, έδειξε ότι η ισορροπία Nash, σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι υπολογιστικά αδύνατη, δηλαδή δεν υπάρχει τρόπος για να προβληθεί η ισορροπία. Για αυτή του την απόδειξη βραβεύθηκε από τον διεθνή οργανισμό ΑCΜ Αssociation for Computing Μachinery το 2008.

Χειρισμός και κανόνες 

Καθορίζεται από κοινού η αρχική περιοχή ανάπτυξης. 

Καθορίζεται η σειρά με την οποία θα παίζουν οι παίκτες (πρώτος- δεύτερος). Κάθε παίκτης έχει δικαίωμα να τοποθετήσει ένα πιόνι οποιουδήποτε χρώματος στην περιοχή ανάπτυξης του παιχνιδιού.

 Δυο διαδοχικές θέσεις πιονιών ορίζουν μια «αποδεκτή» ή «μη αποδεκτή» κατάσταση.

Ως «αποδεκτή» ορίζεται η κατάσταση: δυο διαδοχικά πιόνια είναι διαφορετικού χρώματος. Ως «μη αποδεκτή» ορίζεται η κατάσταση: δυο διαδοχικά πιόνια είναι του ίδιου χρώματος. Νικητής θεωρείται εκείνος ο παίκτης που έχει οδηγήσει τον αντίπαλό του, να μην έχει την δυνατότητα επιλογής αποδεκτής κατάστασης.

Η ανάπτυξη του παιχνιδιού

1.Οι δύο παίκτες, με αυθαίρετες επιλογές και τυχαίες κινήσεις προσπαθούν να πετύχουν τη νίκη. Αντιλαμβάνονται όμως ότι οι τυχαίες και μη λογικά αιτιολογημένες  κινήσεις οδηγούν σε αντίφαση ως προς την βεβαιότητα επίτευξης του ζητούμενου, δηλαδή της νίκης.

2. Η ανάγκη άρσης αυτής της αντίφασης οδηγεί στη συνέχεια στην ανάπτυξη έγκυρων συλλογισμών.

Προτροπή: Θυμόμαστε πάντα σε ένα άγνωστο και πιθανώς δύσκολο πρόβλημα μια βασική συμβουλή από τις στρατηγικές επίλυσης (Polya) : "Αν δεν μπορείτε να λύσετε το πρόβλημά σας, προσπαθήστε να το λύσετε στην απλούστερη εκδοχή του". 

3. Με την προτροπή αυτή κατασκευάσαμε πίνακα καταγραφής του πλήθους των επιλεγμένων οπών (αρχικό διάστημα) και των κινήσεων των παικτών :

Ανάπτυξη στρατηγικής 

Σύμφωνα με τις προηγούμενες παρατηρήσεις, διαμορφώνεται η ακόλουθη στρατηγική: 

Αν το πλήθος των επιλεγμένων οπών είναι περιττός αριθμός, τότε αποφάσισε να παίξεις πρώτος.        

Αν το πλήθος των επιλεγμένων οπών είναι άρτιος αριθμός, τότε  αποφάσισε να παίξεις δεύτερος.

Σύμφωνα με την συγκεκριμένη στρατηγική δεν υπάρχει περίπτωση ισοπαλίας

Ερωτήματα

1.Πως  "βεβαιώνεται" ότι η παραπάνω διατυπωθείσα στρατηγική έχει καθολική ισχύ; Δηλαδή ότι είναι αληθής για κάθε n το πλήθος οπών στην περιοχή ανάπτυξης του παιχνιδιού; 

2. Μπορούν τα Μαθηματικά να συνεισφέρουν σε αυτή τη βεβαιότητα και αν ναι, με ποιο τρόπο;

                                          Μαθηματική μοντελοποίηση του παιχνιδιού     

Διατύπωση σε μαθηματική γλώσσα: 

Ένας πεπερασμένος αριθμός σημείων υποδιαιρεί ένα κλειστό διάστημα σε υποδιαστήματα. Σημειώνουμε τα άκρα του αρχικού διαστήματος με διαφορετικά σύμβολα: αριστερά με 0 και δεξιά με 1, ενώ κάθε ένα από τα εσωτερικά σημεία με 0 ή 1.

Για κάθε πεπερασμένο πλήθος σημείων μιας ευθείας που βρίσκονται μεταξύ δυο σταθερών διαφορετικού συμβολισμού σημείων 0 και 1, υπάρχει τουλάχιστον μια αποδεκτή κατάσταση (δηλαδή ένα διάστημα με διαφορετικά άκρα) και το πλήθος των αποδεκτών καταστάσεων είναι περιττός αριθμός¨ (Απλούστερη εκδοχή του Λήμματος Sperner).

Σε επόμενο μάθημα θα προσπαθήσουμε να δούμε την απόδειξη...

Σημείωση: Δείτε παρακάτω το πιο διάσημο πρόβλημα της θεωρίας Παιγνίων για να το συζητήσουμε : Το δίλημμα του φυλακισμένου

Το δίλημμα του φυλακισμένου επινοήθηκε και αναλύθηκε από τους Merill Flood και Melvin Dresher, την εποχή του Ψυχρού Πολέμου, στην Καλιφόρνια του 1950, όταν δούλευαν για λογαριασμό της Rand Corporation ( του ερευνητικού κέντρου που ήθελε μελέτες στη θεωρία των παιγνίων για να τις χρησιμοποιήσει σε ενδεχόμενο πυρηνικό πόλεμο). Οι δυο μαθηματικοί ανακάλυψαν ένα απλό μαθηματικό μοντέλο σε μορφή παιγνίου στο οποίο οι παίκτες μπορούν είτε να συνεργαστούν μεταξύ τους, είτε να προδώσουν ο ένας τον άλλον.

Ο τίτλος και η εκδοχή με τις καταδικαστικές αποφάσεις φυλάκισης οφείλονται στον μαθηματικό Albert William Tucker, καθηγητή του νομπελίστα John Nash, που ήθελε να κάνει τις ιδέες του προσιτές σε ψυχολόγους του Stanford.

Η δομή του «Διλήμματος του Φυλακισμένου» αναδεικνύει την ισορροπία μεταξύ συνεργασίας και ανταγωνισμού και αποτελεί ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο για την στρατηγική λήψης των αποφάσεων.

Μπορεί ακόμη να εφαρμοστεί σε διάφορους τομείς: από τις επιχειρήσεις, την οικονομία, τα δημοσιονομικά και τις πολιτικές επιστήμες έως τη φιλοσοφία, την ψυχολογία, τη βιολογία και την κοινωνιολογία.

Το σενάριο του διλήμματος του φυλακισμένου έχει ως εξής:

Δυο ύποπτοι (Α και Β) έχουν συλληφθεί ως μέλη μιας συμμορίας για ένα έγκλημα και κρατούνται σε χωριστά δωμάτια σε ένα αστυνομικό τμήμα, χωρίς να έχουν δυνατότητα επικοινωνίας μεταξύ τους. Οι μηνυτές έχουν έλλειψη επαρκών αποδείξεων για να τους καταδικάσουν με τη βασική κατηγορία. Ταυτόχρονα ο ανακριτής προσφέρει στους φυλακισμένους μια συμφωνία, έχοντας πει στον καθένα τα ακόλουθα:

Εάν ομολογήσεις και συμφωνήσεις να καταθέσεις εναντίον του άλλου υπόπτου, ότι διέπραξε έγκλημα, οι κατηγορίες εναντίον σου θα αποσυρθούν και θα αφεθείς ελεύθερος ατιμώρητος.

Εάν δεν ομολογήσεις και το κάνει ο άλλος ύποπτος, θα καταδικαστείς με τη μέγιστη ποινή των 3 ετών.

Εάν ομολογήσετε και οι δυο, θα καταδικαστείτε με 2 χρόνια κάθειρξη.

Εάν κανείς από τους δυο δεν ομολογήσει και οι δυο θα κατηγορηθείτε για πταίσμα και θα καταδικαστείτε με 1 χρόνο φυλακή.

Η ουσία του διλήμματος του φυλακισμένου είναι τι θα κάνουν οι ύποπτοι και η θεωρία παιγνίων ρωτά ποια είναι η αναμενόμενη ορθολογικά «βέλτιστη» στάση του καθενός από τους φυλακισμένους.
Χωρίς την ύπαρξη επικοινωνίας, η ομολογία και από τους δύο, φαίνεται να είναι η λιγότερο ριψοκίνδυνη επιλογή, και αντιπροσωπεύει μια «ισορροπία Nash», παρότι δεν είναι η βέλτιστη λύση για τους δύο !!! 

Εισαγωγή στη Στατιστική

7η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 30-10-2017

Δόθηκε στους μαθητές το παρακάτω έκθεμα-δοχείο (από τη συλλογή του μουσείου Ηρακλειδών) :

και το σχετιζόμενο πρόβλημα : Με δεδομένο, ότι όλα τα σφαιρίδια είναι 1000 σε πλήθος, μπορεί να εκτιμηθεί με τη μεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια πόσα είναι τα άσπρα και πόσα είναι τα πράσινα σφαιρίδια; Από τη συζήτηση και με την κατάλληλη καθοδήγηση οι μαθητές οδηγήθηκαν στις έννοιες στατιστικός πληθυσμός, δειγματοληψία, στατιστικό δείγμα, αξιοπιστία και αντιπροσωπευτικότητα στατιστικού δείγματος.    

Σαπωνοοειδείς επιφάνειες και βελτιστοποίηση

6η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 16-11-2017

Στη σημερινή συνεδρίαση οι μαθητές του ομίλου εισήχθηκαν στην έννοια της ελαχιστοποίησης με ερέθισμα την σαπωνοειδή επιφάνεια που παράγεται από την παρακάτω κατασκευή :

Το ερώτημα είναι γιατί η φύση επιλέγει αυτόν το σχηματισμό της σαπωνοειδούς επιφάνειας μεταξύ των τριών στύλων που συνδέουν τις δύο παράλληλες πλάκες. 

Η πρώτη διαπίστωση μετά από κατάλληλους πειραματισμούς είναι ότι μια σαπωνοειδής επιφάνεια επιλέγει (για λόγους ελάχιστης ενέργειας) το σχηματισμό ελαχίστων μηκών και συνάμα επιφανειών.  

Το πρόβλημα στην επίπεδη εκδοχή του διατυπώνεται μαθηματικά ως εξής : Υπάρχει και αν ναι, να βρεθεί σημείο Ο στο εσωτερικό τριγώνου ΑΒΓ ώστε το άθροισμα των αποστάσεων ΟΑ+ΟΒ+ΟΓ να είναι το ελάχιστο. (Η λύση του προβλήματος αυτού με απλή Ευκλείδεια Γεωμετρία πιστώνεται στο Μεγάλο μαθηματικό Fermat).    

Οι αρχικές εικασίες των μαθητών ήσαν όπως είναι φυσιολογικό ότι ένα τέτοιο σημείο θα πρέπει να αναζητηθεί στα γνωστά "κέντρα" του τριγώνου (ορθόκεντρο, βαρύκεντρο, περίκεντρο κλπ).

Με τη βοήθεια του προγράμματος Sketchpad (που μπορείτε να κατεβάσετε και να εγκαταστήσετε από εδώ :  ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ SKETCHPAD ) απορρίφθηκαν οι εκδοχές αυτές. 

Πειραματιστείτε και σεις μόνοι σας με τη βοήθεια του αρχείου (αφού έχετε πρώτα εγκαταστήσει το πρόγραμμα) : 

FERMAT POINT.

Αφού διαπιστώθηκε ότι το ζητούμενο σημείο δεν έχει σχέση με τα γνωστά κέντρα του τριγώνου δόθηκε η λύση του Fermat, λύση που μπορείτε με περισσότερη ανάλυση του θέματος να δείτε εδώ :

ΣΗΜΕΙΟ FERMAT-ΠΑΠΑΝΙΚΟΛΑΟΥ

Δείτε επίσης ένα βίντεο για τις σαπωνοειδείς επιφάνειες και τη σχέση τους με την αρχιτεκτονική της κυψέλης των μελισσών εδώ : 

ΣΑΠΩΝΟΕΙΔΕΙΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΚΑΙ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΤΗΣ ΚΥΨΕΛΗΣ

ώστε σε επόμενη συνεδρίαση να συζητήσουμε λεπτομερέστερα το όλο θέμα.

Επίσης προβληματιστείτε με το αντίστοιχο πρόβλημα για 4 σημεία, στο οποίο η φύση δίνει την λύση που δείχνει η επόμενη εικόνα, ώστε να το συζητήσουμε σε επόμενη συνάντησή μας:

   

Έχει σχέση το πρόβλημα των 4 σημείων και αν ναι ποια είναι αυτή, με το αντίστοιχο πρόβλημα των 3 σημείων; 

Παρατήρηση : Δόθηκε στη διάρκεια της συζήτησης στους μαθητές για επεξεργασία και το κλασικό πρόβλημα ελαχιστοποίησης :

Σε ποια θέση του σημείου Μ το άθροισμα ΑΜ+ΜΒ γίνεται ελάχιστο. Η ορθή λύση υποδείχθηκε από μαθητή της Α Γυμνασίου!, (Κυριάκος) ενώ υπήρξε και η εξίσου σημαντική παρατήρηση μαθητή Γ Γυμνασίου, (Νίκος), ότι η ζητούμενη θέση του Μ έχει σχέση με το λόγο των αποστάσεων των Α και Β από την ευθεία!. Σημειωτέον ότι το πρόβλημα διδάσκεται σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών ως εφαρμογή-άσκηση στην Α Λυκείου!. Απόδειξη ότι οι γνωστικές-ερευνητικές δυνατότητες των μαθητών δεν περιχαρακώνονται σε ηλικιακά όρια. 

Σημείωση: Η παρατήρηση του Νίκου (Γ Γυμνασίου) έγινε στο τέλος, κατά την αποχώρηση  και δεν έγινε αντικείμενο ομαδικής συζήτησης. Θυμηθείτε να τη συζητήσουμε όλοι μαζί ! 

Τύχη ή πρόβλεψη;

5η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 10-11-2017

Οι μαθητές του ομίλου αλληλεπίδρασαν ομαδοσυνεργατικά με σειρά επιλεγμένων εκθεμάτων από τη διαδραστική έκθεση ¨Παίζω και καταλαβαίνω" του μουσείου Ηρακλειδών και της Εθνικής Εστίας Επιστημών. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον επιδείχθηκε από ομάδα μαθητών για την παρακάτω κατασκευή - έκθεμα :  

ΕΙΝΑΙ ΘΕΜΑ ΤΥΧΗΣ ή ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΈΝΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ
 Η ΕΠΙΤΕΥΞΗ ΟΜΟΧΡΩΜΙΑΣ;

Η κατασκευή αποτελείται από :

Τέσσερα τετράγωνα πλακίδια, ίσου εμβαδού. Κάθε πλακίδιο φέρει δύο όψεις από τις οποίες η μια έχει λευκό χρώμα και η άλλη μαύρο.

Μία τετράγωνη πλάκα, υπερδιπλάσιας πλευράς από αυτή των πλακιδίων, στην οποία υπάρχουν τέσσερα ίσα χωρίσματα – υποδοχές, συμμετρικά ως προς το κέντρο της πλάκας. Στις υποδοχές αυτές τοποθετούνται τα πλακίδια.

Η πλάκα φέρει στο κέντρο του τετραγώνου της μία οπή, από την οποία μπορεί να περνά κατακόρυφα ένας πύρος (άξονας), ώστε να μπορεί να περιστρέφεται, γύρω από αυτόν. Το συνολικό σύστημα είναι εγκατεστημένο σε κατάλληλη βάση στην οποία είναι τοποθετημένος σταθερά ο πύρος. 

Αλληλεπιδρώντας με το έκθεμα ο μαθητής  μπορεί να αλλάζει την άνω όψη σε κάθε ένα από τα πλακίδια που επιθυμεί, ώστε να παρουσιάζεται η λευκή ή η μαύρη όψη τους. Μπορεί επίσης να περιστρέφει την πλάκα παράλληλα, προς τη βάση και κατακόρυφα προς τον πύρο, ο οποίος την συγκρατεί πάνω στην βάση.

Οι κανόνες της διαδικασίας είναι οι ακόλουθοι:

1.Επιλέγεται ένας μαθητής Α της ομάδας του οποίου στην συνέχεια τα μάτια καλύπτονται ώστε να μην βλέπει το έκθεμα. 

2.Ένας άλλος μαθητής Β τοποθετεί τα πλακίδια ώστε να επιτευχθεί μια αρχική κατανομή,  την οποία ο μαθητής Α δεν γνωρίζει, αφού έχει καλύψει τα μάτια του.

3.Ο μαθητής Α καλείται να αλλάξει την όψη σε όσα πλακίδια επιθυμεί.  Δηλαδή μπορεί να αλλάξει την όψη σε: i.Κανένα πλακίδιο ii.  Ένα πλακίδιο iii. Δύο πλακίδια  iv. Τρία πλακίδια v. Όλα τα πλακίδια

4. Αν επιτύχει να φέρουν όλα τα πλακίδια το ίδιο χρώμα (δηλαδή όλα λευκά ή όλα μαύρα), έχει επιτευχθεί ο στόχος.

5. Αν όχι τότε ο μαθητής Β περιστρέφει την βάση και όταν η περιστροφή ολοκληρωθεί, τότε ο μαθητής Α (με καλυμμένα πάντα τα μάτια) καλείται να αλλάξει εκ νέου την όψη σε όσα πλακίδια θέλει.

6. Αν επιτύχει ομοχρωμία, ο στόχος έχει επιτευχθεί. Αν όχι, τότε επαναλαμβάνεται η ίδια διαδικασία.

Από τα προηγούμενα φαίνεται πως ο στόχος είναι, ακολουθώντας τους κανόνες να επιτευχθεί ομοχρωμία.  Και το βαθύτερο ερώτημα, το οποίο τίθεται στους μαθητές είναι αν θεωρούν ότι μπορούν να ανακαλύψουν συγκεκριμένη αλγοριθμική διαδικασία, η οποία με πλήρη βεβαιότητα θα οδηγήσει μετά από μια πεπερασμένη ακολουθία βημάτων στην ομοχρωμία, ή είναι αποτέλεσμα τύχης.

Η ομάδα των μαθητών που ασχολήθηκε με μεγάλο ενδιαφέρον και προσήλωση (Μαρία Λουριδά, Γιώργος Σαρόγλου, Μαγδαληνή Λύτρα) έφθασε πολύ κοντά στον αλγόριθμο λύσης του προβλήματος και θα την παρουσιάσει σε επόμενη συνεδρίαση στους υπόλοιπους μαθητές, σε συνεργασία με τον προσκεκλημένο  μεταδιδακτορικό ερευνητή και συνάδελφο από το πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Δημήτρη Μπαλή, που έχει ασχοληθεί με το θέμα "Η έννοια της πιθανότητας στα Μαθηματικά και τις Φυσικές Επιστήμες στη σύγχρονη σχολική πραγματικότητα" σε διδακτορικό και μεταδιδακτορικό επίπεδο. 

Σε επόμενες συνεδριάσεις θα αναλυθούν και τα εκθέματα -δραστηριότητες με τις οποίες ασχολήθηκαν επίσης με μεγάλο ενδιαφέρον και προσήλωση οι υπόλοιπες ομάδες μαθητών του ομίλου.

.

Η Γεωμετρική Προοπτική

4η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 9-11-2017

1. Συζητήθηκε η διασύνδεση Γεωμετρίας και Τέχνης στη γραμμική προοπτική της Αναγεννησιακής ζωγραφικής. Αναζητήθηκε και αναλύθηκε το γεωμετρικό (προοπτικό) υπόβαθρο των πινάκων: "Place du Théâtre Français, Paris: Rain " (Camille Pissarro), "School of Athens" (Raphael), Last Supper (DaVinci).

Έγινε επίσης αναφορά στη σχέση με τις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες, καθώς το θέμα θα αναλυθεί περισσότερο σε επόμενη συνεδρίαση.

Παρατίθεται σχετική παρουσίαση στη μαθηματική εβδομάδα 2013 - Θεσσαλονίκη: 

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΒΔΟΜΑΔΑ 2013-ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ

Εργασία : Αναζητήστε στο διαδίκτυο με όρο αναζήτησης  "linear perspective and geometry renaissance" η παρεμφερείς, πίνακες με εμφανή γραμμική προοπτική. 

2. Συζητήθηκε ένας δεύτερος τρόπος απεικόνισης του βάθους με βάση την παράλληλη ισομετρική προβολή, τη χρήση της από την τεχνοτροπία της "op art" και την γεωμετρική - ψυχολογική ερμηνεία της αμφισημίας Necker (διπλή αίσθηση βάθους προς τα μέσα αλλά και προς τα έξω) που δημιουργεί.

Η γεωμετρική εξήγηση της παραγόμενης οπτικής αμφισημίας είναι το θεώρημα  

Pohlke ( https://en.wikipedia.org/wiki/Pohlke%27s_theorem) που με απλά λόγια μπορεί να διατυπωθεί ως εξής : Τρία ευθύγραμμα τμήματα με κοινή αρχή μπορούν να αποτελέσουν επίπεδη προβολή (τη σκιά) ενός τρισδιάστατου  ορθογωνίου συστήματος συντεταγμένων. Τα τρία όμως αυτά ευθύγραμμα τμήματα με κοινή αρχή αποτελούν κοινή προβολή του τρισορθογωνίου συστήματος και στην άποψη της "εσοχής" του και στην άποψη της "εξοχής" του. Έτσι ο ανθρώπινος εγκέφαλος έχει το ίδιο νοητικό σχήμα (ίδια σχηματική προβολή) και για την προβαλλόμενη "εσοχή" και για την προβαλλόμενη  "εξοχή" με λογικό αποτέλεσμα την οπτική αμφισημία του "μέσα και έξω". 

Εργασία : Αναζητήστε στο διαδίκτυο με όρο αναζήτησης : "vasarely paintings" πίνακες του καλλιτέχνη της Op -art Victor Vasarely, διαπιστώστε και ερμηνεύστε τις σχετικές αμφισημίες.

Η Διωνυμική και η Κανονική κατανομή

3η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 3-11-2017

Συζητήθηκε η έννοια της κατανομής ενός πληθυσμού ως προς ένα χαρακτηριστικό του και η μεγάλη χρηστική αξία στην επιστημονική έρευνα και πρακτική.
Παρουσιάσθηκε το μοντέλο της δυωνυμικής και κανονικής κατανομής, με παράλληλη βιωματική εύρεση και παρουσίαση της κατανομής των υψών όλων των μαθητών του ομίλου.
Παρουσιάσθηκε και συζητήθηκε το "τρίγωνο του Galton" ως διδακτικό μοντέλο εισαγωγής στη διωνυμική και κανονική κατανομή. 

Παρατίθεται σχετική παρουσίαση στην οποία αναλύεται σε κάπως υψηλότερο επίπεδο το σκεπτικό της δραστηριότητας : « Η αξιοποίηση του τριγώνου Galton στη διδασκαλία της δυωνυμικής και κανονικής κατανομής». Πρακτικά Μαθηματικής εβδομάδας 2011, παράρτημα μαθηματικής εταιρείας κεντρικής Μακεδονίας, Θεσσαλονίκη. 
ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ GALTON ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΔΥΩΝΥΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

Το αλφάβητο του Η/Υ

2η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 2-11-2017

A) Επικοινωνία ανθρώπου και Η/Υ. Θεμέλια, παρόν και μέλλον. Διαδραστική και βιωματική κατανόηση των όρων bit, byte και δυαδικού συστήματος. 

Συσχέτιση με την Αριστοτελική Λογική και την ανάγκη ύπαρξης γλώσσας με τα ελάχιστα δυνατά στοιχεία.
Παρατίθεται το κείμενο δημοσίευσης στο διεθνούς εγκυρότητας  περιοδικό διδακτικής των Μαθηματικών  «International Journal of Education in Mathematics, Science and Technology (IJEMST))» με θέμα : «Teaching decimal – binary conversion through an interactive exhibit», όπου αναπτύσσεται το σκεπτικό της διδακτικής διαδικασίας.
Teaching decimal – binary conversion

Στόχος και επιδιώξεις του ομίλου

1η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ: ΠΕΜΠΤΗ 19-10-2017

Συζήτηση για το στόχο και τις γενικές γραμμές του ομίλου.
Σε κάθε (δίωρη) συνεδρίαση θα γίνεται:
Α) ανάδειξη μαθηματικών εννοιών ως εργαλείων ερμηνείας και πρόβλεψης του κόσμου γύρω μας, με πειραματισμό πάνω σε πραγματικά προβλήματα. (1 ώρα)
Β) Παρουσίαση και ανάλυση μεγάλων μαθηματικών στιγμών της Ιστορίας των Μαθηματικών και προσπάθεια διασύνδεσης με τις υπόλοιπες επιστήμες και την Τέχνη. (1 ώρα).

Α) Διάκριση των φαινομένων σε α) Ντετερμινιστικά (αιτιοκρατικά - προβλέψιμα), β) Χαοτικά (ευαίσθητα στις αρχικές συνθήκες)  γ) Τυχαία. Παραδείγματα για κάθε περίπτωση. Μελέτη και ανάλυση ενός αιτιοκρατικού πειράματος.

Β) Μεγάλη στιγμή των Μαθηματικών: Οι τάξεις του απείρου. Ταξινόμηση των απειροσυνόλων- Ισοπληθικότητα φυσικών και αρτίων, φυσικών και περιττών, διαγώνιο επιχείρημα ισοπληθικότητας φυσικών και θετικών κλασμάτων, ισοπληθικότητα φυσικών και ακεραίων, φυσικών και ρητών. (Cantor).

Α)  « Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΩΣ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΡΜΗΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ»

A1. Αναλύθηκε το έκθεμα - κατασκευή , η οποία αποτελείται από ένα παραλληλεπίπεδο το οποίο έχει δύο εισόδους και δύο εξόδους. Στο εσωτερικό του υπάρχουν τρεις τροχαλίες , οι οποίες ρυθμίζουν την κατεύθυνση του σφαιριδίου από την είσοδο στην έξοδο, αλλά δεν είναι εφικτή η πρόσβαση στο εσωτερικό της συσκευής.

Το ερώτημα που τίθεται είναι αν αφήνοντας ένα σφαιρίδιο από την ίδια είσοδο μπορεί να προβλεφθεί με ακρίβεια σε ποια έξοδο θα καταλήξει το σφαιρίδιο σε οποιαδήποτε τάξεως ρίψη. Το φαινόμενο είναι αιτιοκρατικό, δηλ. είναι δυνατή αυτή η πρόβλεψη;

Βήματα : Αρχίστε και παρατηρείτε προσεκτικά τις εκβάσεις του φαινομένου: Μπορείτε να καταγράψετε τις παρατηρήσεις σας;

Έχει κάποια σχέση ο αριθμός της ρίψης με την τελική έξοδο του σφαιριδίου;

Σε ποιους αριθμούς ρίψεων π.χ. το σφαιρίδιο εξέρχεται αριστερά (Α) και σε ποιους αριθμούς ρίψεων εξέρχεται δεξιά (Δ);.

Αν με f συμβολίσουμε τη διαδικασία μπορούμε να έχουμε την έκβαση του φαινομένου κατά την 243 ρίψη , δηλ. την f(243) ;

Μπορούμε να έχουμε την έκβαση του φαινομένου στη γενική του μορφή f(ν) όπου ν φυσικός αριθμός;

Δηλαδή ποια είναι η έκβαση του φαινομένου στην ρίψη με αριθμό ν;

Παρατηρώντας την καταγραφή διαφαίνεται ένα μοτίβο. Αν π.χ. επιλέξουμε την δεξιά είσοδο , συμβολίζοντας με Δ την δεξιά έξοδο και με Α την αριστερή έξοδο καταγράφονται τα εξής : Δ Α Δ Δ Δ Α Δ Δ Δ Α Δ Δ Δ Α Δ Δ Δ Α…

Από την καταγραφή προκύπτει ότι αν θεωρήσουμε ως αρχή το Α, αν το πλήθος των ρίψεων είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του τέσσερα το σφαιρίδιο θα καταλήξει στην αριστερή έξοδο ενώ στις υπόλοιπες περιπτώσεις θα καταλήξει στην δεξιά έξοδο. Οι θέσεις είναι διακριτές κατά συνέπεια θα μπορούσαμε να τις συμβολίσουμε με Α, Δ1,  Δ2,  Δ3,

Στη συνέχεια δίνοντας τυχαίους αριθμούς ως προς το πλήθος ρίψεων και ζητώντας από τους μαθητές να «προβλέψουν» την έξοδο του σφαιριδίου , καταλήγουμε στον ζητούμενο αλγοριθμικό τύπο που δίνει την έξοδο του σφαιριδίου σε σχέση με το πλήθος ν των ρίψεων. Η αλγοριθμική διαίρεση του με το 4 δίνει αποτέλεσμα ν = 4 ∗κ + υ, με υ=0, 1, 2, 3 . Τότε η συνάρτηση έκβασης του φαινομένου στην ν ρίψη είναι F(ν) = υ, όπου υ=1=Α, υ=1=Δ1, υ=2=Δ2, υ=3=Δ3. .

Τέλος ζητήθηκε η γραφική παράσταση της διαδικασίας, που είναι ένα περιοδικό μοτίβο, όντας περιγραφή ενός περιοδικού φαινομένου. 

A2. 

Β) Ορίστηκε το κριτήριο ισοπληθικότητας δύο συνόλων (1-1 αντιστοιχία των στοιχείων τους), και διαπιστώθηκε το παράδοξο οι φυσικοί αριθμοί να είναι ισοπληθικοί με ένα μέρος τους (τους αρτίους).  

Ο προφανής νόμος απεικόνισης είναι ότι σε κάθε φυσικό αριθμό n αντιστοιχίζεται μοναδικά ο άρτιος 2n. 

Εργασία : Μπορείτε να βρείτε το νόμο (συνάρτηση απεικόνισης των στοιχείων του Z με τα στοιχεία του Ν ;

Εργασία: 1) Μπορείτε να δικαιολογήσετε και να βρείτε το σχετικό νόμο αντιστοιχίας των περιττών με τους φυσικούς αριθμούς;   2) Μπορείτε να δικαιολογήσετε σχηματικά την 1-1 αντιστοιχία όλων των ρητών (θετικών και αρνητικών) με τους φυσικούς; 3) Αναζητείστε στο διαδίκτυο πληροφορίες για το μεγάλο μαθηματικό Cantor και το έργο του.