Στοιχεία από τη Μορφοκλασματική Γεωμετρία (Fractals)

19η ΣΥNANTHΣΗ - ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 26-1-2018

Στην σημερινή μας συνάντηση κάναμε μια εισαγωγή στην Γεωμετρία των Fractals.
Βασική ιδιότητα ενός Fractal αντικειμένου είναι η αυτοομοιότητα (self similarity).

Σχεδιάσαμε το θεωρητικό μοντέλο "τρίγωνο του Sierpinski" στο οποίο διαπιστώσαμε την αυτοομοιότητα :

καθώς και μερικές από τις βασικές ιδιαιτερότητες του (Άπειρο μήκος, Μηδενικό εμβαδόν).

Είδαμε ότι μπορεί να παραχθεί από παιχνίδι τύχης (Chaos Game).

Βασικά στοιχεία Fractal Αντικειμένων και διαφορά τους από τα μη Fractal : 

Ένα Fractal διατηρεί τη δομή του ακόμα και σε απειροελάχιστο τμήμα του, σε αντίθεση με ένα μη fractal. Π.χ. κάθε κύκλος μπορεί να θεωρηθεί ως άθροισμα απείρων απειροελάχιστων ευθύγραμμων τμημάτων (άρα μπορεί να διαφορισθεί και κατόπιν να ολοκληρωθεί), όχι όμως και η νιφάδα του Koch αλλά και οποιοδήποτε Fractal: 

Μιλήσαμε για τη χρησιμότητα των Fractals στην επιστημονική έρευνα και σε επόμενη συνάντηση θα συζητήσουμε για την έννοια της κλασματικής διάστασης και της σχέσης με την επιστήμη του Χάους.  

Ο ρόλος των Μαθηματικών στην Πυθαγόρεια και Πλατωνική Φιλοσοφία

18η ΣΥNANTHΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 25-1-2018

Στη σημερινή μας συνάντηση με αφορμή το Πυθαγόρειο θεώρημα προηγούμενης συνεδρίασης, ασχοληθήκαμε με βασικά σημεία της Πυθαγόρειας Φιλοσοφίας, και την επηρεασθείσα από αυτήν Πλατωνική Οντολογία και Γνωσιολογία. 

Μιλήσαμε για το πρώτο καταγεγραμμένο γνωστικό πρότυπο στην ιστορία της Δυτικής σκέψης, που αποτελεί η διαιρεμένη γραμμή του Πλάτωνος και είδαμε που τοποθετεί σε αυτήν ο Πλάτων τα Μαθηματικά: 

Συνεχίσαμε με την τριμερή διαίρεση της ψυχής και της ιδανικής Πολιτείας από τον Πλάτωνα : 

Μιλήσαμε για τον Ηνίοχο (νου) όπως αυτός αναφέρεται στο διάλογο "Φαίδρος", που πρέπει ως το ανώτερο (λογιστικό) μέρος της ψυχής να μπορεί πάντα να ισορροπεί το υπάκουο άλογο του "θυμοειδούς" της μέρους με το "ατίθασο" ΄άλογο" του επιθυμητικού της μέρους :

Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες-Η περίπτωση της Σφαιρικής Γεωμετρίας

17η ΣΥNANTHΣΗ - ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 19-1-2018

Σήμερα συζητήσαμε τη Γεωμετρία της Σφαίρας, που υπό κάποιες παραδοχές περιγράφει και τη Γεωμετρία της Γήινης επιφάνειας. 
Κυριότερα σημεία : 

α) Διαπιστώσαμε ότι ο συντομότερος δρόμος που συνδέει δύο σημεία στη γήινη επιφάνεια δεν είναι η Ευκλείδεια ευθεία, αλλά το τόξο μεγίστου κύκλου που τα συνδέει. (Γεωδαισιακή).

β) Αν δεχθούμε ως "ευθείες¨ τα τόξα μεγίστου κύκλου, τότε το αξίωμα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας ότι από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μοναδική ευθεία παράλληλη προς αυτήν, δεν ισχύει : στη Σφαιρική Γεωμετρία δεν έχουμε καμία παράλληλη. 
Για παράδειγμα : Αν θεωρήσουμε την "ευθεία" του Ισημερινού της Γης, τότε από οποιοδήποτε σημείο εκτός αυτής δεν διέρχεται καμία παράλληλη "ευθεία", καθώς όλες οι "ευθείες" είναι μέγιστοι κύκλοι της Γης, οι οποίοι τέμνουν όλοι τον Ισημερινό και άρα δεν υπάρχει παράλληλη "ευθεία" προς τον Ισημερινό, από σημείο εκτός αυτού. 

γ) Ένα τρίγωνο σε μια σφαιρική επιφάνεια έχει άθροισμα γωνιών μεγαλύτερο των 180 μοιρών.

γ) Λύσαμε το πρόβλημα της ορατότητας : Πόσα μέτρα ορατότητας έχουμε από ένα συγκεκριμένο ύψος όρασης από την επιφάνεια της Γης, με δεδομένη την ακτίνα της Γης;

δ) Η έννοια του Ευκλείδειου επίπεδου σε μια σφαιρική επιφάνεια έχει νόημα μόνο για ορισμένα τετραγωνικά χιλιόμετρα που υπολογίζονται από την καμπυλότητα Gauss και φυσικά έχουν σχέση από την ακτίνα της. Με άλλα λόγια ένα τρίγωνο που οι κορυφές του βρίσκονται στην επιφάνεια της Γης, έχει άθροισμα γωνιών 180 μοιρών υπό την προϋπόθεση ότι το εμβαδόν του δεν ξεπερνάει τα 200 τετρ, χιλιόμετρα. Αναφέραμε εδώ τις πειραματικές μετρήσεις του Gauσs στις πεδιάδες της Γερμανίας, με τις οποίες προσπάθησε να επαληθεύσει τους θεωρητικούς του υπολογισμούς.

Πυθαγόρειο Θεώρημα

16η ΣΥNANTHΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 18-1-2018

Στη σημερινή μας συνάντηση ασχοληθήκαμε με το πιο διάσημο θεώρημα, το Πυθαγόρειο Θεώρημα.
Αναλύσαμε και κατανοήσαμε την απόδειξη όπως αυτή αναγράφεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη και τρεις ακόμα από τις μεταγενέστερες αποδείξεις του.
Κάθε μαθητής/τρια ανέλαβε να παρουσιάσει μία από τις εκατοντάδες αποδείξεις του θεωρήματος.

Επίσκεψη στην έκθεση Αρχαίας Κινεζικής Τεχνολογίας στο Μουσείο Ηρακλειδών.

15η ΣΥNANTHΣΗ - ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 12-1-2018

Σήμερα επισκεφθήκαμε την έκθεση Αρχαίας Κινεζικής Τεχνολογίας στο Μουσείο Ηρακλειδών.

Τα εκθέματα της έκθεσης έχουν παραχωρηθεί από το Μουσείο Επιστημών του Πεκίνου στα πλαίσια ανταλλαγής με την έκθεση Αρχαίας Ελληνικής Τεχνολογίας "Εύρηκα" που εκτίθεται στο Πεκίνο.  

Παρακολουθήσαμε επίδειξη της τεχνικής παραγωγής χαρτιού από εκχύλισμα μπαμπού, περιεργαστήκαμε ομοίωμα αρχαίου Κινέζικου σεισμογράφου, 

αστρολάβους στην ενότητα Αστρονομία, κλεψύδρα και υδραυλικό ρολόι στην ενότητα Μέτρηση χρόνου, δείγματα Κινέζικων πλοίων στην ενότητα Ναυπηγική-Ναυσιπλοΐα.

Είδαμε τα πρώτα κινητά τυπογραφικά στοιχεία στην ενότητα Τυπογραφία, αργαλειούς στην ενότητα Υφαντική, Γεωργικά Εργαλεία της Αρχαίας Κινεζικής εποχής, χάρτες με τις ιστορικές δυναστείες που κυβέρνησαν την Κίνα από το 5.000 π.Χ. 

Παρακολουθήσαμε επίσης επίδειξη παραδοσιακής κινέζικης τυπογραφίας, παρακολουθώντας τεχνικές με ξύλινα τυπογραφικά στοιχεία, φροτάζ και εκτύπωση με σφραγίδα.

Συζητήσαμε τη σχέση του Αρχαιοελληνικού με τον αντίστοιχο Αρχαίο Κινεζικό πολιτισμό και θα συνεχίσουμε στο σχολείο σε επόμενες συναντήσεις με σχετικές δραστηριότητες, όπως σχεδιασμός και κατασκευή ηλιακού ρολογιού και πυξίδας.

ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΙΓΜΙΟΤΥΠΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΣΚΕΨΗ        

Οι Απαρχές της Τοπολογίας-Τα μονοπάτια του Euler

14η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 11-1-2018

Η σημερινή συνεδρίαση αφιερώθηκε στο ιστορικό πρόβλημα με τις 7 γέφυρες του Königsberg. To Königsberg (σημερινό Καλίνινγκραντ) είναι μια πόλη που σήμερα ανήκει στο κράτος της Ρωσίας.  

Η πόλη είναι γνωστή και από τον πανέμορφο ποταμό της, τον Pregel, που δημιουργεί στο κέντρο της δυο μικρές νησίδες. 

Τον 18^ο αιώνα επτά γέφυρες συνέδεαν μεταξύ τους τις όχθες του ποταμού και τις δύο νησίδες με τη στεριά, όπως φαίνεται στον παρακάτω χάρτη.  Οι γέφυρες αυτές  συνδέθηκαν με ένα διάσημο μαθηματικό γρίφο, που η λύση του αποδίδεται σε έναν από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των  εποχών : τον Leonard Euler.

Ποιος είναι αυτός ο μαθηματικός γρίφος; Λόγω της γραφικότητας και της φυσικής ομορφιάς του, ο χώρος γύρω από τις γέφυρες ήταν χώρος Κυριακάτικου (και όχι μόνον) περιπάτου. Κατά τη διάρκεια αυτών των περιπάτων είχε διατυπωθεί το ερώτημα αν είναι δυνατόν να  μπορούν να περάσουν όλες τις γέφυρες του ποταμού διασχίζοντας κάθε μία γέφυρα,  μόνο μία φορά.

Από την αρχή της συζήτησης μια μαθήτρια (Μάγδα) παρατήρησε άμεσα και αρκετοί κατόπιν μαθητές, ότι είναι αδύνατον να ξεκινήσει κάποιος από ένα μέρος και να καταλήξει στο ίδιο περνώντας και από τις 7 γέφυρες μία μόνο φορά. Και αυτό γιατί κάθε μέρος έχει πρόσβαση σε περιττό αριθμό γεφυρών. Άρα μπήκαμε αμέσως στο κλειδί της επίλυσης του προβλήματος που είναι ο αριθμός των γεφυρών που έχει πρόσβαση από κάθε μέρος. Για παράδειγμα αν ξεκινήσει κάποιος από το Α : Από τη μία γέφυρα θα φύγει, από τη δεύτερη θα γυρίσει και από την τρίτη θα ξαναφύγει, μη μπορώντας να ξαναγυρίσει!

Αλλάξαμε τον κανόνα όπως είναι στο ιστορικό πρόβλημα : Να μπορούμε να ξεκινήσουμε και να τερματίσουμε τον περίπατο σε διαφορετικά μέρη (περνώντας πάντα και από τις 7 γέφυρες).

Χρησιμοποιώντας την ευφυή σκέψη του Euler ότι τα 4 τμήματα ξηράς που συνδέονταν από τις γέφυρες, μπορούσαν να αντικατασταθούν από σημεία, ενώ οι γέφυρες από γραμμές που ένωναν τα σημεία το πρόβλημα του περιπάτου πάνω από όλες τις γέφυρες, ισοδυναμεί με ένα πρόβλημα σχεδίασης στο χαρτί,  χωρίς να σηκωθεί το μολύβι από το χαρτί, αλλά και χωρίς να ζωγραφιστεί η ίδια γραμμή δύο φορές.

Όπως σε κάθε πρόβλημα που μας δυσκολεύει, (και σωστά θυμήθηκε ο Άγγελος) προσπαθήσαμε να δούμε το πρόβλημα σε απλούστερες εκδοχές ώστε να επιστρέψουμε στο αρχικό.  

Ο περίπατος είναι ανέφικτος !

Ο περίπατος είναι εφικτός !

Μετά από αρκετή συζήτηση καταλήξαμε στη λύση του προβλήματος :

Ονομάζουμε κάθε κορυφή άρτια ή περιττή ανάλογα με το πλήθος των τμημάτων που καταλήγουν-ξεκινάνε από αυτή.

Ο περίπατος Euler είναι εφικτός, αν οι περιττές κορυφές είναι το πολύ 2 και τότε η μία θα είναι σημείο εκκίνηση , ενώ η άλλη σημείο τερματισμού. Αν έχουμε πάνω από 2 περιττές κορυφές όπως συνέβαινε στις 7 γέφυρες του Königsberg, ο περίπατος είναι ανέφικτος.

Το ιστορικό πρόβλημα των γεφυρών του Königsberg, είναι ένα αξιοπρόσεκτο πρόβλημα που θα πρέπει κάποια στιγμή να ασχοληθούν κάποτε όλοι όσοι σκέπτονται να γίνουν μαθηματικοί, φυσικοί, μηχανικοί κλπ.  γιατί γέννησε ένα νέο τρόπο προσέγγισης του χώρου και της γεωμετρίας. Αντί να ενδιαφέρουν οι διαστάσεις, οι αποστάσεις και οι γωνίες μεταξύ γεωμετρικών οντοτήτων, η νέα αυτή προσέγγιση εστιάζει στο πως είναι συνδεδεμένες αυτές οι οντότητες. Αυτή είναι και η αρχή της Τοπολογίας, με παρακλάδι την θεωρία γραφημάτων, (Graph Theory) ενός από τους βασικούς πλέον κλάδους των Μαθηματικών και βασικού πυλώνα αντίστοιχα της σημερινής Τεχνολογίας.

Graph Theory

Εφαρμογές στα μέσα μαζικής μεταφοράς   

Εφαρμογές στη Βιολογία

Εφαρμογές στη μικροηλεκτρονική-πληροφορική

Εφαρμογές στα μέσα κοινωνικής δικτύωσης

Το παράδοξο του Ζήνωνος

13η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 21-12-2017

Στη σημερινή μας συνάντηση ασχοληθήκαμε με το παράδοξο της διχοτομίας του Αρχαίου Έλληνα φιλόσοφου Ζήνωνος του Ελεάτη.
Το παράδοξο αυτό έχει ως μαθηματικό υπόβαθρο ένα από τα πρώτα αθροίσματα με άπειρους όρους στην ιστορία των Μαθηματικών  (1/2+1/4+1/8+1/16+...) που παρά το άπειρο πλήθος όρων, δεν ξεπερνάει ποτέ την μονάδα. Έχει όπως λέμε στα Μαθηματικά όριο 1.

Το παράδοξο (παρά την δόξα-γνώμη) συνίσταται στο ότι αν τα κλάσματα αντιστοιχιστούν σε  μήκη ευθυγράμμων διαδοχικών τμημάτων, δημιουργείται η εντύπωση ότι ένας δρομέας κινούμενος σε αυτά δεν μπορεί να καλύψει τη συνολική απόσταση μιας μονάδας μέτρησης, αφού πάντα θα υπάρχει ένα ακόμα τμήμα να διανύσει.

Μια μονάδα στο νοητό κόσμο των Μαθηματικών μπορεί να υποδιπλασιάζεται (διαιρείται δια δύο) άπειρο πλήθος φορών. Μπορεί να γίνει μια τέτοια αντίστοιχη υλική διαίρεση σε ένα αισθητό-υλικό τμήμα; Τα περίφημα «παράδοξα» «του Αχιλλέα και της χελώνας» ή της «διχοτομίας», που αποδίδονται στον Ελεάτη φιλόσοφο Ζήνωνα, εισάγουν στον προβληματισμό για τη σχέση νοητών κατασκευ­ών, όπως του αθροίσματος  του απείρου πλήθους όρων : ½ + ¼ + 1/8 + 1/16+ 1/32 + … , ή της άπειρης διχοτόμησης  ενός τμήματος, με τον κόσμο των αισθητών-υλικών φαινομένων. Ουσιαστικά έθεσαν τις βάσεις του διαλόγου, ο οποίος πήρε πιο τυπική μορφή λίγο αργότερα με τον Εύδοξο (400-περ. 355π.X.) και τον Αρχιμήδη (περ. 287 π.Χ- 212 π.Χ.). Ο διάλογος αυτός συνεχίστηκε στην Αναγέννηση έως περίπου τα τέλη του 19^ου αιώνα και δημιούργησε τον βασικότερο κλάδο των Μαθηματικών , τον Απειροστικό Λογισμό. Δημιούργησε όμως και αντίστοιχο γόνιμο φιλοσοφικό διάλογο διασύ­νδεσης Μαθη­μα­τικών και Φιλοσοφίας.

Η άρση του παραδόξου αγγίζει τα θεμέλια της Επιστημολογίας των Μαθηματικών και της σύνδεσης Μαθηματικών και Φιλοσοφίας, καθώς εάν ο δρομέας έχει υλικές διαστάσεις είναι προφανές ότι κάποια στιγμή οι διαστάσεις αυτές θα καλύψουν το εναπομένον τμήμα. Αν όμως είναι το νοητό (άυλο και ιδεατό) σημείο των Μαθηματικών, όχι μόνον δεν φθάνει από το αρχικό σημείο Α στο τελικό σημείο Β, αλλά ούτε καν ξεκινάει, καθώς δεν υπόκειται σε κίνηση και χρόνο. 
Το παράδοξο του Ζήνωνος οδηγεί αργότερα τον Πλάτωνα στο ερώτημα για τη φύση του κόσμου (οντολογία) και της γνώσης του (γνωσιολογία). Έτσι διαχωρίζει τον κόσμο σε υλικό-αισθητό και ιδεατό-νοητό ενώ αντίστοιχα τη γνώση στην κατώτερη κατηγορία, προερχόμενη από τις ατελείς ανθρώπινες αισθήσεις και στην ανώτερη γνώση προερχόμενη από τη διάνοια.