Το "Στομάχιον" του Αρχιμήδους-2

26η ΣΥNANTHΣΗ - ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 23-2-2018

Συνεχίσαμε και σήμερα με το Στομάχιον του Αρχιμήδους, ενώ κάναμε και μια εισαγωγή στο πρόβλημα των 4 χρωμάτων, με το οποίο θα ασχοληθούμε στην επόμενη συνάντησή μας.

Το "Στομάχιον" του Αρχιμήδους-1

25η ΣΥNANTHΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 22-2-2018

Το θέμα της σημερινής μας συζήτησης ήταν το "Στομάχιον" ή Οστομάχιον" του Αρχιμήδους.

Το ¨Στοµάχιον¨ είναι µια από τις λιγότερο γνωστές πραγµατείες του Αρχιµήδη. Μέχρι πρόσφατα επικρατούσε η άποψη ότι αντικείµενο της πραγµατείας ήταν η µέτρηση του εµβαδού 14 πολυγώνων που αποτελούσαν ένα παιδικό παιχνίδι,πρόγονο των σημερινών παζλ και των τάνγκραμς.Το 2003 προτάθηκε µια νέα ερµηνεία από ερευνητές που µελετούν τον αντίστοιχο παλίµψηστο κώδικα, σύμφωνα με την οποία το ¨Στοµάχιον¨ είναι µια
πραγµατεία γεωµετρικής συνδυαστικής.

Σκοπός του παιχνιδιού είναι ο παίκτης να ξανασχηματίσει με όσο το δυνατόν περισσότερους τρόπους με όλα τα κομμάτια το τετράγωνο (536 διαφορετικοί τρόποι!) ή κάποια από 9 συγκεκριμένες φιγούρες (μια περικεφαλαία, μια χήνα που πετάει, έναν πύργο, μια κολόνα, έναν ελέφαντα, ένα αγριογούρουνο, ένα σκυλί που γαβγίζει, έναν κυνηγό που παραμονεύει).

Στο πρόβλημα ο Αρχιμήδης αποδεικνύει ότι για κάθε ένα από τα 14 κομμάτια, ισχύει ότι το εμβαδόν του τετραγώνου είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του εμβαδού του κάθε κομματιού.

Σχηματίσαμε το "Στομάχιον" αρχικά σε τετραγωνισμένο χαρτί και κατόπιν συνεχίσαμε με τον υπολογισμό των εμβαδών των 14 επιμέρους σχημάτων που το συναποτελούν, αναφέροντας τα σχετικά θεωρήματα-εργαλεία που είναι απαραίτητα. (Θεώρημα Θαλή, θεωρήματα εμβαδού ομοίων σχημάτων, ισεμβαδικά σχήματα κλπ).

Μετασχηματισμοί ισομετρίας

24η ΣΥNANTHΣΗ - ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 16-2-2018

Στη σημερινή μας συνάντηση ασχοληθήκαμε με τη γεωμετρία των μετασχηματισμών ισομετρίας και την εφαρμογή τους στην Τέχνη (ψηφιδωτά, ζωφόροι κλπ).  

Μουσική και Μαθηματικά

23η ΣΥNANTHΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 15-2-2018

Το θέμα μας σήμερα ήταν η σχέση Μαθηματικών και Μουσικής και μας το ανέπτυξε η μουσικός τραγουδίστρια και συνθέτης Ναταλία Κοτσάνη, μέλος του συγκροτήματος Encardia, απόφοιτος ΣΕΜΦΕ- ΕΜΠ και υποψήφιας διδάκτορος. 

Το Ευπαλίνειο Όρυγμα

22η ΣΥNANTHΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 8-2-2018

Γνωρίσαμε σήμερα το Ευπαλίνειο Όρυγμα της Σάμου, ένα από τα πιο σημαντικά τεχνικά έργα της Αρχαίας Ελλάδας. (6ος αιώνας π.Χ.)

Το έργο συνίσταται στη διάνοιξη σήραγγας και μάλιστα "αμφίστομης" δηλαδή με ταυτόχρονη διάτρηση και από τις δύο πλευρές, ώστε να υδροδοτηθεί η τότε πόλη της Σάμου.

Παρατηρήσαμε μέσω του δορυφόρου την μορφολογία του λόφου στο Πυθαγόρειο της Σάμου, όπως είναι σήμερα και προβληματιστήκαμε με ποιες γεωμετρικές ιδέες ο μηχανικός Ευπαλίνος κατάφερε με τα τότε υπάρχοντα τεχνικά μέσα να καταφέρει να επιτύχει τη διάνοιξη του τούνελ.

Παρακολουθήσαμε σχετικά βίντεο (Τα Μαθηματικά υδρεύουν τη Σάμο) και συγκρίναμε με τις σημερινές τεχνικές διάνοιξης τούνελ. (Η νέα σήραγγα στο δρόμο Αγ. Νικολάου - Καλού Χωριού).        

Η εκθετική μεταβολή

21η ΣΥNANTHΣΗ - ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 2-2-2018

Δόθηκε το πρόβλημα :   

Σύμφωνα με δημογραφικές μελέτες, ένας πληθυσμός παρουσιάζει σταθερό ρυθμό αύξησης: διπλασιάζεται ομοιόμορφα ανά έτος. Την 1^η Ιανουαρίου 2010 ο πληθυσμός αυτός μετρήθηκε και βρέθηκε 1.000.000.

Προσπαθήστε να αναπαραστήσετε την εξέλιξη αυτού του πληθυσμού ανά έτος για το χρονικό διάστημα από 1^ης Ιανουαρίου 2010 έως και 1^η  Ιανουαρίου 2015 σε ένα σύστημα αξόνων, όπου στον οριζόντιο άξονα θα παριστάνεται η 1^η Ιανουαρίου για τα 5 αυτά έτη.

Οι περισσότεροι μαθητές που δεν έχουν ακούσει τίποτε περί εκθετικής συνάρτησης διαπίστωσαν ότι οι τελευταίες τιμές υπερέβαιναν τα όρια της σελίδας και αναζη­τούσαν βοήθεια ενώ άλλοι ερώτησαν ευθέως αν μπορούσαν να πάρουν διαφορετικές μονάδες στους άξονες. Αρκετοί μαθητές κατευθύνθηκαν στην παράκαμψη της ορθο­κα­νονι­κότητας και έδω­σαν διαγράμματα σαν τα παρακάτω :

 Τέθηκε το ερώτημα αν είναι ορθό να ενώσουμε με ευθύγραμμα τμήματα τα χαρακτηριστικά σημεία (κάθε 1η Ιανουαρίου) και συμφωνήθηκε ότι σε πρώτη φάση το μόνο σωστό θα ήταν το παρακάτω διάγραμμα : 

Ενώ θα έπρεπε να σκεφθούμε καλύτερα τι γίνεται με τα ενδιάμεσα σημεία - χρονικές στιγμές :

1) Αναπαράσταση του πληθυσμού ανά εξάμηνο στα έτη 2010- 2115: 

2) Αναπαράσταση του πληθυσμού ανά τρίμηνο στα έτη 2010- 2115: 

3) Αναπαράσταση του πληθυσμού ανά μήνα στα έτη 2010- 2115: 

4) Αναπαράσταση του πληθυσμού ανά μήνα στα έτη 2010- 2115: 

Μαθηματικά Παράδοξα, γρίφοι, προβλήματα αυτοαναφοράς

20η ΣΥNANTHΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 1-2-2018

Πως θα μπορούσε να συμπληρωθεί ορθά το παραπάνω; 

Η παραπάνω φράση είναι αληθής ή ψευδής;  

Που βρίσκεται το λάθος ; 

Ποιος δίσκος είναι πιο διαφορετικός από τους άλλους;