Το παράδοξο του Ζήνωνος

13η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 21-12-2017

Στη σημερινή μας συνάντηση ασχοληθήκαμε με το παράδοξο της διχοτομίας του Αρχαίου Έλληνα φιλόσοφου Ζήνωνος του Ελεάτη.
Το παράδοξο αυτό έχει ως μαθηματικό υπόβαθρο ένα από τα πρώτα αθροίσματα με άπειρους όρους στην ιστορία των Μαθηματικών  (1/2+1/4+1/8+1/16+...) που παρά το άπειρο πλήθος όρων, δεν ξεπερνάει ποτέ την μονάδα. Έχει όπως λέμε στα Μαθηματικά όριο 1.

Το παράδοξο (παρά την δόξα-γνώμη) συνίσταται στο ότι αν τα κλάσματα αντιστοιχιστούν σε  μήκη ευθυγράμμων διαδοχικών τμημάτων, δημιουργείται η εντύπωση ότι ένας δρομέας κινούμενος σε αυτά δεν μπορεί να καλύψει τη συνολική απόσταση μιας μονάδας μέτρησης, αφού πάντα θα υπάρχει ένα ακόμα τμήμα να διανύσει.

Μια μονάδα στο νοητό κόσμο των Μαθηματικών μπορεί να υποδιπλασιάζεται (διαιρείται δια δύο) άπειρο πλήθος φορών. Μπορεί να γίνει μια τέτοια αντίστοιχη υλική διαίρεση σε ένα αισθητό-υλικό τμήμα; Τα περίφημα «παράδοξα» «του Αχιλλέα και της χελώνας» ή της «διχοτομίας», που αποδίδονται στον Ελεάτη φιλόσοφο Ζήνωνα, εισάγουν στον προβληματισμό για τη σχέση νοητών κατασκευ­ών, όπως του αθροίσματος  του απείρου πλήθους όρων : ½ + ¼ + 1/8 + 1/16+ 1/32 + … , ή της άπειρης διχοτόμησης  ενός τμήματος, με τον κόσμο των αισθητών-υλικών φαινομένων. Ουσιαστικά έθεσαν τις βάσεις του διαλόγου, ο οποίος πήρε πιο τυπική μορφή λίγο αργότερα με τον Εύδοξο (400-περ. 355π.X.) και τον Αρχιμήδη (περ. 287 π.Χ- 212 π.Χ.). Ο διάλογος αυτός συνεχίστηκε στην Αναγέννηση έως περίπου τα τέλη του 19^ου αιώνα και δημιούργησε τον βασικότερο κλάδο των Μαθηματικών , τον Απειροστικό Λογισμό. Δημιούργησε όμως και αντίστοιχο γόνιμο φιλοσοφικό διάλογο διασύ­νδεσης Μαθη­μα­τικών και Φιλοσοφίας.

Η άρση του παραδόξου αγγίζει τα θεμέλια της Επιστημολογίας των Μαθηματικών και της σύνδεσης Μαθηματικών και Φιλοσοφίας, καθώς εάν ο δρομέας έχει υλικές διαστάσεις είναι προφανές ότι κάποια στιγμή οι διαστάσεις αυτές θα καλύψουν το εναπομένον τμήμα. Αν όμως είναι το νοητό (άυλο και ιδεατό) σημείο των Μαθηματικών, όχι μόνον δεν φθάνει από το αρχικό σημείο Α στο τελικό σημείο Β, αλλά ούτε καν ξεκινάει, καθώς δεν υπόκειται σε κίνηση και χρόνο. 
Το παράδοξο του Ζήνωνος οδηγεί αργότερα τον Πλάτωνα στο ερώτημα για τη φύση του κόσμου (οντολογία) και της γνώσης του (γνωσιολογία). Έτσι διαχωρίζει τον κόσμο σε υλικό-αισθητό και ιδεατό-νοητό ενώ αντίστοιχα τη γνώση στην κατώτερη κατηγορία, προερχόμενη από τις ατελείς ανθρώπινες αισθήσεις και στην ανώτερη γνώση προερχόμενη από τη διάνοια.      

"Άλμπερτ Αϊνστάιν- Ο δημιουργός της σύγχρονης Φυσικής".

12η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 14-12-2017

Στη σημερινή μας συνάντηση παρακολουθήσαμε και σχολιάσαμε το ντοκιμαντέρ  "Άλμπερτ Αϊνστάιν- Ο δημιουργός της σύγχρονης Φυσικής". 
Είδαμε την πορεία της προσωπικής ζωής αλλά και της επιστημονικής σκέψης του μεγάλου επιστήμονα, μέσα από την οποία προσπαθήσαμε να κατανοήσουμε σε αδρές γραμμές, τις διαφορές από τις Νευτώνειες θεωρίες για το χώρο, το χρόνο, τη βαρύτητα, το φως. Τι λέει δηλαδή με απλά λόγια η Ειδική και η Γενική θεωρία της Σχετικότητας, βάζοντας παρακαταθήκες για την διεξοδική επιστημονική ανάλυση του θέματος αργότερα στο Λύκειο και ακόμα αργότερα στο Πανεπιστήμιο.
Σε επόμενη συνάντηση θα παρακολουθήσουμε την ταινία "Einstein and Eddington" στην οποία εξιστορείται η περιπέτεια επαλήθευσης και αποδοχής από την επιστημονική κοινότητα της θεωρίας περί καμπύλωσης του χωροχρόνου με την καθοριστική συνεισφορά του Άγγλου αστρονόμου Eddington, μέσα στο ταραχώδες και δραματικό σκηνικό της εμπόλεμης κατάστασης Αγγλίας - Γερμανίας στον Α παγκόσμιο πόλεμο και κάτω από δραματικές και αντίξοες συνθήκες ακόμα και του καιρού, ο οποίος τελικά επέτρεψε οριακά την πρώτη αστρονομική παρατήρηση επαλήθευσης της καμπύλωσης του φωτός μακρινού άστρου, όταν το φως αυτό συναντήσει τον Ήλιο, ως αποτέλεσμα της καμπύλωσης του χωροχρόνου που προκαλείται από το μεγάλο βαρυτικό πεδίο του Ηλίου. 
Θα συζητήσουμε επίσης τι είναι οι μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες και ποια είναι η σχέση τους με τις θεωρίες Σχετικότητας του Αϊνστάιν αλλά και τις σύγχρονες κοσμολογικές αναζητήσεις.  

Η χρυσή τομή

11η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 14-12-2017

Σήμερα ασχοληθήκαμε με τη χρυσή τομή. Αναλύσαμε την αλγεβρική και τη γεωμετρική της προσέγγιση και είδαμε τις εφαρμογές της στη Φύση, την Τέχνη αλλά και το ανθρώπινο σώμα.

Το "σφυρί του Davinci"

10η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 8-12-2017
Σήμερα συναρμολογήσαμε ένα μοντέλο προσομοίωσης της συσκευής "σφυρί του Νταβίντσι" (Davinci cam hammer). (Μία συσκευή ανά 4 μαθητές).

 Η συσκευή αυτή μετατρέπει την περιστροφική περιοδική κίνηση ενός κοχλία σε ευθύγραμμη μιας εφαπτόμενης ράβδου. Για την μοντελοποίηση ενός φαινομένου στο οποίο μία κίνηση (του κοχλία) ενεργεί ως αίτιο και παράγει μια άλλη κίνηση της (ράβδου) ως αποτέλεσμα, χρειαζόμαστε την έννοια της συνάρτησης. Από τις κατάλληλες μετρήσεις προέκυψε ο τύπος και η γραφική παράσταση της συνάρτησης του ύψους της ράβδου σε σχέση με τη γωνία του κοχλία.
Σημ. Ο κοχλίας της συγκεκριμένης συσκευής, είναι τμήμα της σπείρας του Αρχιμήδη. 

Συζητήσαμε τις προεκτάσεις χρήσης αυτής της συσκευής (ραπτομηχανές, κινητήρες αυτοκινήτων κλπ) και παρακολουθήσαμε σχετικά video.

To λήμμα του Sperner

9η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 8-12-2017

Σήμερα προσπαθήσαμε να δώσουμε τη μαθηματική μοντελοποίηση της ευθύγραμμης εκδοχής του  λήμματος Sperner.(Στοιχειώδης εισαγωγή στη μαθηματική επαγωγή).
Επίσης συζητήσαμε το "δίλημμα του φυλακισμένου", βασικό και ενδεικτικό πρόβλημα εισαγωγής στη θεωρία παιγνίων.
Κατόπιν παρακολουθήσαμε τμήμα της ταινίας "Donald in MathLand" με βάση την οποία σε επόμενη συνεδρίαση θα συζητήσουμε το θέμα : "Η χρυσή τομή στη Φύση, την Τέχνη και τα Μαθηματικά" .

Θεωρία Παιγνίων

8η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 1-12-2017 

Στη σημερινή μας συνάντηση ασχοληθήκαμε με ένα αθώο φαινομενικά παιχνίδι, αρχικά στην μονοδιάστατη του και κατόπιν στη δισδιάστατη εκδοχή του. 
Το παιχνίδι αυτό είναι η υλοποίηση μιας από τις απλούστερες μορφές του λήμματος Sperner το οποίο μαζί με το τοπολογικό θεώρημα του Βrower χρησιμοποιήθηκαν από τον Τζων Φορμπς Νας (John Forbes Nash) για την διατύπωση της έννοιας της Ισορροπίας Nash στη Θεωρία Παιγνίων . 
Η θεωρία παιγνίων είναι ουσιαστικά η μαθηματική μελέτη διαμόρφωσης μιας πετυχημένης στρατηγικής σε ένα παιχνίδι όπου κάθε παίκτης δεν γνωρίζει τις επιλογές των υπόλοιπων ανταγωνιστών του, αλλά επηρεάζεται από αυτές, Στη θέση του παίκτη, μπορεί να είναι ένα άτομο, ένα κράτος, ή μια ομάδα ανθρώπων κοινών συμφερόντων.
Σε κάποια συνάντηση θα δούμε και θα σχολιάσουμε, τη σχετική ταινία που αναφέρεται στη ζωή του Nash (A beautiful mind).
Αξίζει να σημειωθεί ότι ο γνωστός απόφοιτος του Βαρβακείου (1998) Κωνσταντίνος Δασκαλάκης, καθηγητής σήμερα στο Τεχνολογικό Ινστιτούτο Μασαχουσέτης, έδειξε ότι η ισορροπία Nash, σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι υπολογιστικά αδύνατη, δηλαδή δεν υπάρχει τρόπος για να προβληθεί η ισορροπία. Για αυτή του την απόδειξη βραβεύθηκε από τον διεθνή οργανισμό ΑCΜ Αssociation for Computing Μachinery το 2008.

Χειρισμός και κανόνες 

Καθορίζεται από κοινού η αρχική περιοχή ανάπτυξης. 

Καθορίζεται η σειρά με την οποία θα παίζουν οι παίκτες (πρώτος- δεύτερος). Κάθε παίκτης έχει δικαίωμα να τοποθετήσει ένα πιόνι οποιουδήποτε χρώματος στην περιοχή ανάπτυξης του παιχνιδιού.

 Δυο διαδοχικές θέσεις πιονιών ορίζουν μια «αποδεκτή» ή «μη αποδεκτή» κατάσταση.

Ως «αποδεκτή» ορίζεται η κατάσταση: δυο διαδοχικά πιόνια είναι διαφορετικού χρώματος. Ως «μη αποδεκτή» ορίζεται η κατάσταση: δυο διαδοχικά πιόνια είναι του ίδιου χρώματος. Νικητής θεωρείται εκείνος ο παίκτης που έχει οδηγήσει τον αντίπαλό του, να μην έχει την δυνατότητα επιλογής αποδεκτής κατάστασης.

Η ανάπτυξη του παιχνιδιού

1.Οι δύο παίκτες, με αυθαίρετες επιλογές και τυχαίες κινήσεις προσπαθούν να πετύχουν τη νίκη. Αντιλαμβάνονται όμως ότι οι τυχαίες και μη λογικά αιτιολογημένες  κινήσεις οδηγούν σε αντίφαση ως προς την βεβαιότητα επίτευξης του ζητούμενου, δηλαδή της νίκης.

2. Η ανάγκη άρσης αυτής της αντίφασης οδηγεί στη συνέχεια στην ανάπτυξη έγκυρων συλλογισμών.

Προτροπή: Θυμόμαστε πάντα σε ένα άγνωστο και πιθανώς δύσκολο πρόβλημα μια βασική συμβουλή από τις στρατηγικές επίλυσης (Polya) : "Αν δεν μπορείτε να λύσετε το πρόβλημά σας, προσπαθήστε να το λύσετε στην απλούστερη εκδοχή του". 

3. Με την προτροπή αυτή κατασκευάσαμε πίνακα καταγραφής του πλήθους των επιλεγμένων οπών (αρχικό διάστημα) και των κινήσεων των παικτών :

Ανάπτυξη στρατηγικής 

Σύμφωνα με τις προηγούμενες παρατηρήσεις, διαμορφώνεται η ακόλουθη στρατηγική: 

Αν το πλήθος των επιλεγμένων οπών είναι περιττός αριθμός, τότε αποφάσισε να παίξεις πρώτος.        

Αν το πλήθος των επιλεγμένων οπών είναι άρτιος αριθμός, τότε  αποφάσισε να παίξεις δεύτερος.

Σύμφωνα με την συγκεκριμένη στρατηγική δεν υπάρχει περίπτωση ισοπαλίας

Ερωτήματα

1.Πως  "βεβαιώνεται" ότι η παραπάνω διατυπωθείσα στρατηγική έχει καθολική ισχύ; Δηλαδή ότι είναι αληθής για κάθε n το πλήθος οπών στην περιοχή ανάπτυξης του παιχνιδιού; 

2. Μπορούν τα Μαθηματικά να συνεισφέρουν σε αυτή τη βεβαιότητα και αν ναι, με ποιο τρόπο;

                                          Μαθηματική μοντελοποίηση του παιχνιδιού     

Διατύπωση σε μαθηματική γλώσσα: 

Ένας πεπερασμένος αριθμός σημείων υποδιαιρεί ένα κλειστό διάστημα σε υποδιαστήματα. Σημειώνουμε τα άκρα του αρχικού διαστήματος με διαφορετικά σύμβολα: αριστερά με 0 και δεξιά με 1, ενώ κάθε ένα από τα εσωτερικά σημεία με 0 ή 1.

Για κάθε πεπερασμένο πλήθος σημείων μιας ευθείας που βρίσκονται μεταξύ δυο σταθερών διαφορετικού συμβολισμού σημείων 0 και 1, υπάρχει τουλάχιστον μια αποδεκτή κατάσταση (δηλαδή ένα διάστημα με διαφορετικά άκρα) και το πλήθος των αποδεκτών καταστάσεων είναι περιττός αριθμός¨ (Απλούστερη εκδοχή του Λήμματος Sperner).

Σε επόμενο μάθημα θα προσπαθήσουμε να δούμε την απόδειξη...

Σημείωση: Δείτε παρακάτω το πιο διάσημο πρόβλημα της θεωρίας Παιγνίων για να το συζητήσουμε : Το δίλημμα του φυλακισμένου

Το δίλημμα του φυλακισμένου επινοήθηκε και αναλύθηκε από τους Merill Flood και Melvin Dresher, την εποχή του Ψυχρού Πολέμου, στην Καλιφόρνια του 1950, όταν δούλευαν για λογαριασμό της Rand Corporation ( του ερευνητικού κέντρου που ήθελε μελέτες στη θεωρία των παιγνίων για να τις χρησιμοποιήσει σε ενδεχόμενο πυρηνικό πόλεμο). Οι δυο μαθηματικοί ανακάλυψαν ένα απλό μαθηματικό μοντέλο σε μορφή παιγνίου στο οποίο οι παίκτες μπορούν είτε να συνεργαστούν μεταξύ τους, είτε να προδώσουν ο ένας τον άλλον.

Ο τίτλος και η εκδοχή με τις καταδικαστικές αποφάσεις φυλάκισης οφείλονται στον μαθηματικό Albert William Tucker, καθηγητή του νομπελίστα John Nash, που ήθελε να κάνει τις ιδέες του προσιτές σε ψυχολόγους του Stanford.

Η δομή του «Διλήμματος του Φυλακισμένου» αναδεικνύει την ισορροπία μεταξύ συνεργασίας και ανταγωνισμού και αποτελεί ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο για την στρατηγική λήψης των αποφάσεων.

Μπορεί ακόμη να εφαρμοστεί σε διάφορους τομείς: από τις επιχειρήσεις, την οικονομία, τα δημοσιονομικά και τις πολιτικές επιστήμες έως τη φιλοσοφία, την ψυχολογία, τη βιολογία και την κοινωνιολογία.

Το σενάριο του διλήμματος του φυλακισμένου έχει ως εξής:

Δυο ύποπτοι (Α και Β) έχουν συλληφθεί ως μέλη μιας συμμορίας για ένα έγκλημα και κρατούνται σε χωριστά δωμάτια σε ένα αστυνομικό τμήμα, χωρίς να έχουν δυνατότητα επικοινωνίας μεταξύ τους. Οι μηνυτές έχουν έλλειψη επαρκών αποδείξεων για να τους καταδικάσουν με τη βασική κατηγορία. Ταυτόχρονα ο ανακριτής προσφέρει στους φυλακισμένους μια συμφωνία, έχοντας πει στον καθένα τα ακόλουθα:

Εάν ομολογήσεις και συμφωνήσεις να καταθέσεις εναντίον του άλλου υπόπτου, ότι διέπραξε έγκλημα, οι κατηγορίες εναντίον σου θα αποσυρθούν και θα αφεθείς ελεύθερος ατιμώρητος.

Εάν δεν ομολογήσεις και το κάνει ο άλλος ύποπτος, θα καταδικαστείς με τη μέγιστη ποινή των 3 ετών.

Εάν ομολογήσετε και οι δυο, θα καταδικαστείτε με 2 χρόνια κάθειρξη.

Εάν κανείς από τους δυο δεν ομολογήσει και οι δυο θα κατηγορηθείτε για πταίσμα και θα καταδικαστείτε με 1 χρόνο φυλακή.

Η ουσία του διλήμματος του φυλακισμένου είναι τι θα κάνουν οι ύποπτοι και η θεωρία παιγνίων ρωτά ποια είναι η αναμενόμενη ορθολογικά «βέλτιστη» στάση του καθενός από τους φυλακισμένους.
Χωρίς την ύπαρξη επικοινωνίας, η ομολογία και από τους δύο, φαίνεται να είναι η λιγότερο ριψοκίνδυνη επιλογή, και αντιπροσωπεύει μια «ισορροπία Nash», παρότι δεν είναι η βέλτιστη λύση για τους δύο !!! 

Εισαγωγή στη Στατιστική

7η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 30-10-2017

Δόθηκε στους μαθητές το παρακάτω έκθεμα-δοχείο (από τη συλλογή του μουσείου Ηρακλειδών) :

και το σχετιζόμενο πρόβλημα : Με δεδομένο, ότι όλα τα σφαιρίδια είναι 1000 σε πλήθος, μπορεί να εκτιμηθεί με τη μεγαλύτερη δυνατή ακρίβεια πόσα είναι τα άσπρα και πόσα είναι τα πράσινα σφαιρίδια; Από τη συζήτηση και με την κατάλληλη καθοδήγηση οι μαθητές οδηγήθηκαν στις έννοιες στατιστικός πληθυσμός, δειγματοληψία, στατιστικό δείγμα, αξιοπιστία και αντιπροσωπευτικότητα στατιστικού δείγματος.