Οι Απαρχές της Τοπολογίας-Τα μονοπάτια του Euler

14η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 11-1-2018

Η σημερινή συνεδρίαση αφιερώθηκε στο ιστορικό πρόβλημα με τις 7 γέφυρες του Königsberg. To Königsberg (σημερινό Καλίνινγκραντ) είναι μια πόλη που σήμερα ανήκει στο κράτος της Ρωσίας.  

Η πόλη είναι γνωστή και από τον πανέμορφο ποταμό της, τον Pregel, που δημιουργεί στο κέντρο της δυο μικρές νησίδες. 

Τον 18^ο αιώνα επτά γέφυρες συνέδεαν μεταξύ τους τις όχθες του ποταμού και τις δύο νησίδες με τη στεριά, όπως φαίνεται στον παρακάτω χάρτη.  Οι γέφυρες αυτές  συνδέθηκαν με ένα διάσημο μαθηματικό γρίφο, που η λύση του αποδίδεται σε έναν από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των  εποχών : τον Leonard Euler.

Ποιος είναι αυτός ο μαθηματικός γρίφος; Λόγω της γραφικότητας και της φυσικής ομορφιάς του, ο χώρος γύρω από τις γέφυρες ήταν χώρος Κυριακάτικου (και όχι μόνον) περιπάτου. Κατά τη διάρκεια αυτών των περιπάτων είχε διατυπωθεί το ερώτημα αν είναι δυνατόν να  μπορούν να περάσουν όλες τις γέφυρες του ποταμού διασχίζοντας κάθε μία γέφυρα,  μόνο μία φορά.

Από την αρχή της συζήτησης μια μαθήτρια (Μάγδα) παρατήρησε άμεσα και αρκετοί κατόπιν μαθητές, ότι είναι αδύνατον να ξεκινήσει κάποιος από ένα μέρος και να καταλήξει στο ίδιο περνώντας και από τις 7 γέφυρες μία μόνο φορά. Και αυτό γιατί κάθε μέρος έχει πρόσβαση σε περιττό αριθμό γεφυρών. Άρα μπήκαμε αμέσως στο κλειδί της επίλυσης του προβλήματος που είναι ο αριθμός των γεφυρών που έχει πρόσβαση από κάθε μέρος. Για παράδειγμα αν ξεκινήσει κάποιος από το Α : Από τη μία γέφυρα θα φύγει, από τη δεύτερη θα γυρίσει και από την τρίτη θα ξαναφύγει, μη μπορώντας να ξαναγυρίσει!

Αλλάξαμε τον κανόνα όπως είναι στο ιστορικό πρόβλημα : Να μπορούμε να ξεκινήσουμε και να τερματίσουμε τον περίπατο σε διαφορετικά μέρη (περνώντας πάντα και από τις 7 γέφυρες).

Χρησιμοποιώντας την ευφυή σκέψη του Euler ότι τα 4 τμήματα ξηράς που συνδέονταν από τις γέφυρες, μπορούσαν να αντικατασταθούν από σημεία, ενώ οι γέφυρες από γραμμές που ένωναν τα σημεία το πρόβλημα του περιπάτου πάνω από όλες τις γέφυρες, ισοδυναμεί με ένα πρόβλημα σχεδίασης στο χαρτί,  χωρίς να σηκωθεί το μολύβι από το χαρτί, αλλά και χωρίς να ζωγραφιστεί η ίδια γραμμή δύο φορές.

Όπως σε κάθε πρόβλημα που μας δυσκολεύει, (και σωστά θυμήθηκε ο Άγγελος) προσπαθήσαμε να δούμε το πρόβλημα σε απλούστερες εκδοχές ώστε να επιστρέψουμε στο αρχικό.  

Ο περίπατος είναι ανέφικτος !

Ο περίπατος είναι εφικτός !

Μετά από αρκετή συζήτηση καταλήξαμε στη λύση του προβλήματος :

Ονομάζουμε κάθε κορυφή άρτια ή περιττή ανάλογα με το πλήθος των τμημάτων που καταλήγουν-ξεκινάνε από αυτή.

Ο περίπατος Euler είναι εφικτός, αν οι περιττές κορυφές είναι το πολύ 2 και τότε η μία θα είναι σημείο εκκίνηση , ενώ η άλλη σημείο τερματισμού. Αν έχουμε πάνω από 2 περιττές κορυφές όπως συνέβαινε στις 7 γέφυρες του Königsberg, ο περίπατος είναι ανέφικτος.

Το ιστορικό πρόβλημα των γεφυρών του Königsberg, είναι ένα αξιοπρόσεκτο πρόβλημα που θα πρέπει κάποια στιγμή να ασχοληθούν κάποτε όλοι όσοι σκέπτονται να γίνουν μαθηματικοί, φυσικοί, μηχανικοί κλπ.  γιατί γέννησε ένα νέο τρόπο προσέγγισης του χώρου και της γεωμετρίας. Αντί να ενδιαφέρουν οι διαστάσεις, οι αποστάσεις και οι γωνίες μεταξύ γεωμετρικών οντοτήτων, η νέα αυτή προσέγγιση εστιάζει στο πως είναι συνδεδεμένες αυτές οι οντότητες. Αυτή είναι και η αρχή της Τοπολογίας, με παρακλάδι την θεωρία γραφημάτων, (Graph Theory) ενός από τους βασικούς πλέον κλάδους των Μαθηματικών και βασικού πυλώνα αντίστοιχα της σημερινής Τεχνολογίας.

Graph Theory

Εφαρμογές στα μέσα μαζικής μεταφοράς   

Εφαρμογές στη Βιολογία

Εφαρμογές στη μικροηλεκτρονική-πληροφορική

Εφαρμογές στα μέσα κοινωνικής δικτύωσης