Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες-Η περίπτωση της Σφαιρικής Γεωμετρίας

17η ΣΥNANTHΣΗ - ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 19-1-2018

Σήμερα συζητήσαμε τη Γεωμετρία της Σφαίρας, που υπό κάποιες παραδοχές περιγράφει και τη Γεωμετρία της Γήινης επιφάνειας. 
Κυριότερα σημεία : 

α) Διαπιστώσαμε ότι ο συντομότερος δρόμος που συνδέει δύο σημεία στη γήινη επιφάνεια δεν είναι η Ευκλείδεια ευθεία, αλλά το τόξο μεγίστου κύκλου που τα συνδέει. (Γεωδαισιακή).

β) Αν δεχθούμε ως "ευθείες¨ τα τόξα μεγίστου κύκλου, τότε το αξίωμα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας ότι από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μοναδική ευθεία παράλληλη προς αυτήν, δεν ισχύει : στη Σφαιρική Γεωμετρία δεν έχουμε καμία παράλληλη. 
Για παράδειγμα : Αν θεωρήσουμε την "ευθεία" του Ισημερινού της Γης, τότε από οποιοδήποτε σημείο εκτός αυτής δεν διέρχεται καμία παράλληλη "ευθεία", καθώς όλες οι "ευθείες" είναι μέγιστοι κύκλοι της Γης, οι οποίοι τέμνουν όλοι τον Ισημερινό και άρα δεν υπάρχει παράλληλη "ευθεία" προς τον Ισημερινό, από σημείο εκτός αυτού. 

γ) Ένα τρίγωνο σε μια σφαιρική επιφάνεια έχει άθροισμα γωνιών μεγαλύτερο των 180 μοιρών.

γ) Λύσαμε το πρόβλημα της ορατότητας : Πόσα μέτρα ορατότητας έχουμε από ένα συγκεκριμένο ύψος όρασης από την επιφάνεια της Γης, με δεδομένη την ακτίνα της Γης;

δ) Η έννοια του Ευκλείδειου επίπεδου σε μια σφαιρική επιφάνεια έχει νόημα μόνο για ορισμένα τετραγωνικά χιλιόμετρα που υπολογίζονται από την καμπυλότητα Gauss και φυσικά έχουν σχέση από την ακτίνα της. Με άλλα λόγια ένα τρίγωνο που οι κορυφές του βρίσκονται στην επιφάνεια της Γης, έχει άθροισμα γωνιών 180 μοιρών υπό την προϋπόθεση ότι το εμβαδόν του δεν ξεπερνάει τα 200 τετρ, χιλιόμετρα. Αναφέραμε εδώ τις πειραματικές μετρήσεις του Gauσs στις πεδιάδες της Γερμανίας, με τις οποίες προσπάθησε να επαληθεύσει τους θεωρητικούς του υπολογισμούς.