Το Ευπαλίνειο Όρυγμα

22η ΣΥNANTHΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 8-2-2018

Γνωρίσαμε σήμερα το Ευπαλίνειο Όρυγμα της Σάμου, ένα από τα πιο σημαντικά τεχνικά έργα της Αρχαίας Ελλάδας. (6ος αιώνας π.Χ.)

Το έργο συνίσταται στη διάνοιξη σήραγγας και μάλιστα "αμφίστομης" δηλαδή με ταυτόχρονη διάτρηση και από τις δύο πλευρές, ώστε να υδροδοτηθεί η τότε πόλη της Σάμου.

Παρατηρήσαμε μέσω του δορυφόρου την μορφολογία του λόφου στο Πυθαγόρειο της Σάμου, όπως είναι σήμερα και προβληματιστήκαμε με ποιες γεωμετρικές ιδέες ο μηχανικός Ευπαλίνος κατάφερε με τα τότε υπάρχοντα τεχνικά μέσα να καταφέρει να επιτύχει τη διάνοιξη του τούνελ.

Παρακολουθήσαμε σχετικά βίντεο (Τα Μαθηματικά υδρεύουν τη Σάμο) και συγκρίναμε με τις σημερινές τεχνικές διάνοιξης τούνελ. (Η νέα σήραγγα στο δρόμο Αγ. Νικολάου - Καλού Χωριού).        

Η εκθετική μεταβολή

21η ΣΥNANTHΣΗ - ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 2-2-2018

Δόθηκε το πρόβλημα :   

Σύμφωνα με δημογραφικές μελέτες, ένας πληθυσμός παρουσιάζει σταθερό ρυθμό αύξησης: διπλασιάζεται ομοιόμορφα ανά έτος. Την 1^η Ιανουαρίου 2010 ο πληθυσμός αυτός μετρήθηκε και βρέθηκε 1.000.000.

Προσπαθήστε να αναπαραστήσετε την εξέλιξη αυτού του πληθυσμού ανά έτος για το χρονικό διάστημα από 1^ης Ιανουαρίου 2010 έως και 1^η  Ιανουαρίου 2015 σε ένα σύστημα αξόνων, όπου στον οριζόντιο άξονα θα παριστάνεται η 1^η Ιανουαρίου για τα 5 αυτά έτη.

Οι περισσότεροι μαθητές που δεν έχουν ακούσει τίποτε περί εκθετικής συνάρτησης διαπίστωσαν ότι οι τελευταίες τιμές υπερέβαιναν τα όρια της σελίδας και αναζη­τούσαν βοήθεια ενώ άλλοι ερώτησαν ευθέως αν μπορούσαν να πάρουν διαφορετικές μονάδες στους άξονες. Αρκετοί μαθητές κατευθύνθηκαν στην παράκαμψη της ορθο­κα­νονι­κότητας και έδω­σαν διαγράμματα σαν τα παρακάτω :

 Τέθηκε το ερώτημα αν είναι ορθό να ενώσουμε με ευθύγραμμα τμήματα τα χαρακτηριστικά σημεία (κάθε 1η Ιανουαρίου) και συμφωνήθηκε ότι σε πρώτη φάση το μόνο σωστό θα ήταν το παρακάτω διάγραμμα : 

Ενώ θα έπρεπε να σκεφθούμε καλύτερα τι γίνεται με τα ενδιάμεσα σημεία - χρονικές στιγμές :

1) Αναπαράσταση του πληθυσμού ανά εξάμηνο στα έτη 2010- 2115: 

2) Αναπαράσταση του πληθυσμού ανά τρίμηνο στα έτη 2010- 2115: 

3) Αναπαράσταση του πληθυσμού ανά μήνα στα έτη 2010- 2115: 

4) Αναπαράσταση του πληθυσμού ανά μήνα στα έτη 2010- 2115: 

Μαθηματικά Παράδοξα, γρίφοι, προβλήματα αυτοαναφοράς

20η ΣΥNANTHΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 1-2-2018

Πως θα μπορούσε να συμπληρωθεί ορθά το παραπάνω; 

Η παραπάνω φράση είναι αληθής ή ψευδής;  

Που βρίσκεται το λάθος ; 

Ποιος δίσκος είναι πιο διαφορετικός από τους άλλους; 

Στοιχεία από τη Μορφοκλασματική Γεωμετρία (Fractals)

19η ΣΥNANTHΣΗ - ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 26-1-2018

Στην σημερινή μας συνάντηση κάναμε μια εισαγωγή στην Γεωμετρία των Fractals.
Βασική ιδιότητα ενός Fractal αντικειμένου είναι η αυτοομοιότητα (self similarity).

Σχεδιάσαμε το θεωρητικό μοντέλο "τρίγωνο του Sierpinski" στο οποίο διαπιστώσαμε την αυτοομοιότητα :

καθώς και μερικές από τις βασικές ιδιαιτερότητες του (Άπειρο μήκος, Μηδενικό εμβαδόν).

Είδαμε ότι μπορεί να παραχθεί από παιχνίδι τύχης (Chaos Game).

Βασικά στοιχεία Fractal Αντικειμένων και διαφορά τους από τα μη Fractal : 

Ένα Fractal διατηρεί τη δομή του ακόμα και σε απειροελάχιστο τμήμα του, σε αντίθεση με ένα μη fractal. Π.χ. κάθε κύκλος μπορεί να θεωρηθεί ως άθροισμα απείρων απειροελάχιστων ευθύγραμμων τμημάτων (άρα μπορεί να διαφορισθεί και κατόπιν να ολοκληρωθεί), όχι όμως και η νιφάδα του Koch αλλά και οποιοδήποτε Fractal: 

Μιλήσαμε για τη χρησιμότητα των Fractals στην επιστημονική έρευνα και σε επόμενη συνάντηση θα συζητήσουμε για την έννοια της κλασματικής διάστασης και της σχέσης με την επιστήμη του Χάους.  

Ο ρόλος των Μαθηματικών στην Πυθαγόρεια και Πλατωνική Φιλοσοφία

18η ΣΥNANTHΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 25-1-2018

Στη σημερινή μας συνάντηση με αφορμή το Πυθαγόρειο θεώρημα προηγούμενης συνεδρίασης, ασχοληθήκαμε με βασικά σημεία της Πυθαγόρειας Φιλοσοφίας, και την επηρεασθείσα από αυτήν Πλατωνική Οντολογία και Γνωσιολογία. 

Μιλήσαμε για το πρώτο καταγεγραμμένο γνωστικό πρότυπο στην ιστορία της Δυτικής σκέψης, που αποτελεί η διαιρεμένη γραμμή του Πλάτωνος και είδαμε που τοποθετεί σε αυτήν ο Πλάτων τα Μαθηματικά: 

Συνεχίσαμε με την τριμερή διαίρεση της ψυχής και της ιδανικής Πολιτείας από τον Πλάτωνα : 

Μιλήσαμε για τον Ηνίοχο (νου) όπως αυτός αναφέρεται στο διάλογο "Φαίδρος", που πρέπει ως το ανώτερο (λογιστικό) μέρος της ψυχής να μπορεί πάντα να ισορροπεί το υπάκουο άλογο του "θυμοειδούς" της μέρους με το "ατίθασο" ΄άλογο" του επιθυμητικού της μέρους :

Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες-Η περίπτωση της Σφαιρικής Γεωμετρίας

17η ΣΥNANTHΣΗ - ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 19-1-2018

Σήμερα συζητήσαμε τη Γεωμετρία της Σφαίρας, που υπό κάποιες παραδοχές περιγράφει και τη Γεωμετρία της Γήινης επιφάνειας. 
Κυριότερα σημεία : 

α) Διαπιστώσαμε ότι ο συντομότερος δρόμος που συνδέει δύο σημεία στη γήινη επιφάνεια δεν είναι η Ευκλείδεια ευθεία, αλλά το τόξο μεγίστου κύκλου που τα συνδέει. (Γεωδαισιακή).

β) Αν δεχθούμε ως "ευθείες¨ τα τόξα μεγίστου κύκλου, τότε το αξίωμα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας ότι από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μοναδική ευθεία παράλληλη προς αυτήν, δεν ισχύει : στη Σφαιρική Γεωμετρία δεν έχουμε καμία παράλληλη. 
Για παράδειγμα : Αν θεωρήσουμε την "ευθεία" του Ισημερινού της Γης, τότε από οποιοδήποτε σημείο εκτός αυτής δεν διέρχεται καμία παράλληλη "ευθεία", καθώς όλες οι "ευθείες" είναι μέγιστοι κύκλοι της Γης, οι οποίοι τέμνουν όλοι τον Ισημερινό και άρα δεν υπάρχει παράλληλη "ευθεία" προς τον Ισημερινό, από σημείο εκτός αυτού. 

γ) Ένα τρίγωνο σε μια σφαιρική επιφάνεια έχει άθροισμα γωνιών μεγαλύτερο των 180 μοιρών.

γ) Λύσαμε το πρόβλημα της ορατότητας : Πόσα μέτρα ορατότητας έχουμε από ένα συγκεκριμένο ύψος όρασης από την επιφάνεια της Γης, με δεδομένη την ακτίνα της Γης;

δ) Η έννοια του Ευκλείδειου επίπεδου σε μια σφαιρική επιφάνεια έχει νόημα μόνο για ορισμένα τετραγωνικά χιλιόμετρα που υπολογίζονται από την καμπυλότητα Gauss και φυσικά έχουν σχέση από την ακτίνα της. Με άλλα λόγια ένα τρίγωνο που οι κορυφές του βρίσκονται στην επιφάνεια της Γης, έχει άθροισμα γωνιών 180 μοιρών υπό την προϋπόθεση ότι το εμβαδόν του δεν ξεπερνάει τα 200 τετρ, χιλιόμετρα. Αναφέραμε εδώ τις πειραματικές μετρήσεις του Gauσs στις πεδιάδες της Γερμανίας, με τις οποίες προσπάθησε να επαληθεύσει τους θεωρητικούς του υπολογισμούς.

Πυθαγόρειο Θεώρημα

16η ΣΥNANTHΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 18-1-2018

Στη σημερινή μας συνάντηση ασχοληθήκαμε με το πιο διάσημο θεώρημα, το Πυθαγόρειο Θεώρημα.
Αναλύσαμε και κατανοήσαμε την απόδειξη όπως αυτή αναγράφεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη και τρεις ακόμα από τις μεταγενέστερες αποδείξεις του.
Κάθε μαθητής/τρια ανέλαβε να παρουσιάσει μία από τις εκατοντάδες αποδείξεις του θεωρήματος.