Επίσκεψη στην έκθεση Αρχαίας Κινεζικής Τεχνολογίας στο Μουσείο Ηρακλειδών.

15η ΣΥNANTHΣΗ - ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 12-1-2018

Σήμερα επισκεφθήκαμε την έκθεση Αρχαίας Κινεζικής Τεχνολογίας στο Μουσείο Ηρακλειδών.

Τα εκθέματα της έκθεσης έχουν παραχωρηθεί από το Μουσείο Επιστημών του Πεκίνου στα πλαίσια ανταλλαγής με την έκθεση Αρχαίας Ελληνικής Τεχνολογίας "Εύρηκα" που εκτίθεται στο Πεκίνο.  

Παρακολουθήσαμε επίδειξη της τεχνικής παραγωγής χαρτιού από εκχύλισμα μπαμπού, περιεργαστήκαμε ομοίωμα αρχαίου Κινέζικου σεισμογράφου, 

αστρολάβους στην ενότητα Αστρονομία, κλεψύδρα και υδραυλικό ρολόι στην ενότητα Μέτρηση χρόνου, δείγματα Κινέζικων πλοίων στην ενότητα Ναυπηγική-Ναυσιπλοΐα.

Είδαμε τα πρώτα κινητά τυπογραφικά στοιχεία στην ενότητα Τυπογραφία, αργαλειούς στην ενότητα Υφαντική, Γεωργικά Εργαλεία της Αρχαίας Κινεζικής εποχής, χάρτες με τις ιστορικές δυναστείες που κυβέρνησαν την Κίνα από το 5.000 π.Χ. 

Παρακολουθήσαμε επίσης επίδειξη παραδοσιακής κινέζικης τυπογραφίας, παρακολουθώντας τεχνικές με ξύλινα τυπογραφικά στοιχεία, φροτάζ και εκτύπωση με σφραγίδα.

Συζητήσαμε τη σχέση του Αρχαιοελληνικού με τον αντίστοιχο Αρχαίο Κινεζικό πολιτισμό και θα συνεχίσουμε στο σχολείο σε επόμενες συναντήσεις με σχετικές δραστηριότητες, όπως σχεδιασμός και κατασκευή ηλιακού ρολογιού και πυξίδας.

ΦΩΤΟΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΙΓΜΙΟΤΥΠΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΣΚΕΨΗ        

Οι Απαρχές της Τοπολογίας-Τα μονοπάτια του Euler

14η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 11-1-2018

Η σημερινή συνεδρίαση αφιερώθηκε στο ιστορικό πρόβλημα με τις 7 γέφυρες του Königsberg. To Königsberg (σημερινό Καλίνινγκραντ) είναι μια πόλη που σήμερα ανήκει στο κράτος της Ρωσίας.  

Η πόλη είναι γνωστή και από τον πανέμορφο ποταμό της, τον Pregel, που δημιουργεί στο κέντρο της δυο μικρές νησίδες. 

Τον 18^ο αιώνα επτά γέφυρες συνέδεαν μεταξύ τους τις όχθες του ποταμού και τις δύο νησίδες με τη στεριά, όπως φαίνεται στον παρακάτω χάρτη.  Οι γέφυρες αυτές  συνδέθηκαν με ένα διάσημο μαθηματικό γρίφο, που η λύση του αποδίδεται σε έναν από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των  εποχών : τον Leonard Euler.

Ποιος είναι αυτός ο μαθηματικός γρίφος; Λόγω της γραφικότητας και της φυσικής ομορφιάς του, ο χώρος γύρω από τις γέφυρες ήταν χώρος Κυριακάτικου (και όχι μόνον) περιπάτου. Κατά τη διάρκεια αυτών των περιπάτων είχε διατυπωθεί το ερώτημα αν είναι δυνατόν να  μπορούν να περάσουν όλες τις γέφυρες του ποταμού διασχίζοντας κάθε μία γέφυρα,  μόνο μία φορά.

Από την αρχή της συζήτησης μια μαθήτρια (Μάγδα) παρατήρησε άμεσα και αρκετοί κατόπιν μαθητές, ότι είναι αδύνατον να ξεκινήσει κάποιος από ένα μέρος και να καταλήξει στο ίδιο περνώντας και από τις 7 γέφυρες μία μόνο φορά. Και αυτό γιατί κάθε μέρος έχει πρόσβαση σε περιττό αριθμό γεφυρών. Άρα μπήκαμε αμέσως στο κλειδί της επίλυσης του προβλήματος που είναι ο αριθμός των γεφυρών που έχει πρόσβαση από κάθε μέρος. Για παράδειγμα αν ξεκινήσει κάποιος από το Α : Από τη μία γέφυρα θα φύγει, από τη δεύτερη θα γυρίσει και από την τρίτη θα ξαναφύγει, μη μπορώντας να ξαναγυρίσει!

Αλλάξαμε τον κανόνα όπως είναι στο ιστορικό πρόβλημα : Να μπορούμε να ξεκινήσουμε και να τερματίσουμε τον περίπατο σε διαφορετικά μέρη (περνώντας πάντα και από τις 7 γέφυρες).

Χρησιμοποιώντας την ευφυή σκέψη του Euler ότι τα 4 τμήματα ξηράς που συνδέονταν από τις γέφυρες, μπορούσαν να αντικατασταθούν από σημεία, ενώ οι γέφυρες από γραμμές που ένωναν τα σημεία το πρόβλημα του περιπάτου πάνω από όλες τις γέφυρες, ισοδυναμεί με ένα πρόβλημα σχεδίασης στο χαρτί,  χωρίς να σηκωθεί το μολύβι από το χαρτί, αλλά και χωρίς να ζωγραφιστεί η ίδια γραμμή δύο φορές.

Όπως σε κάθε πρόβλημα που μας δυσκολεύει, (και σωστά θυμήθηκε ο Άγγελος) προσπαθήσαμε να δούμε το πρόβλημα σε απλούστερες εκδοχές ώστε να επιστρέψουμε στο αρχικό.  

Ο περίπατος είναι ανέφικτος !

Ο περίπατος είναι εφικτός !

Μετά από αρκετή συζήτηση καταλήξαμε στη λύση του προβλήματος :

Ονομάζουμε κάθε κορυφή άρτια ή περιττή ανάλογα με το πλήθος των τμημάτων που καταλήγουν-ξεκινάνε από αυτή.

Ο περίπατος Euler είναι εφικτός, αν οι περιττές κορυφές είναι το πολύ 2 και τότε η μία θα είναι σημείο εκκίνηση , ενώ η άλλη σημείο τερματισμού. Αν έχουμε πάνω από 2 περιττές κορυφές όπως συνέβαινε στις 7 γέφυρες του Königsberg, ο περίπατος είναι ανέφικτος.

Το ιστορικό πρόβλημα των γεφυρών του Königsberg, είναι ένα αξιοπρόσεκτο πρόβλημα που θα πρέπει κάποια στιγμή να ασχοληθούν κάποτε όλοι όσοι σκέπτονται να γίνουν μαθηματικοί, φυσικοί, μηχανικοί κλπ.  γιατί γέννησε ένα νέο τρόπο προσέγγισης του χώρου και της γεωμετρίας. Αντί να ενδιαφέρουν οι διαστάσεις, οι αποστάσεις και οι γωνίες μεταξύ γεωμετρικών οντοτήτων, η νέα αυτή προσέγγιση εστιάζει στο πως είναι συνδεδεμένες αυτές οι οντότητες. Αυτή είναι και η αρχή της Τοπολογίας, με παρακλάδι την θεωρία γραφημάτων, (Graph Theory) ενός από τους βασικούς πλέον κλάδους των Μαθηματικών και βασικού πυλώνα αντίστοιχα της σημερινής Τεχνολογίας.

Graph Theory

Εφαρμογές στα μέσα μαζικής μεταφοράς   

Εφαρμογές στη Βιολογία

Εφαρμογές στη μικροηλεκτρονική-πληροφορική

Εφαρμογές στα μέσα κοινωνικής δικτύωσης

Το παράδοξο του Ζήνωνος

13η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 21-12-2017

Στη σημερινή μας συνάντηση ασχοληθήκαμε με το παράδοξο της διχοτομίας του Αρχαίου Έλληνα φιλόσοφου Ζήνωνος του Ελεάτη.
Το παράδοξο αυτό έχει ως μαθηματικό υπόβαθρο ένα από τα πρώτα αθροίσματα με άπειρους όρους στην ιστορία των Μαθηματικών  (1/2+1/4+1/8+1/16+...) που παρά το άπειρο πλήθος όρων, δεν ξεπερνάει ποτέ την μονάδα. Έχει όπως λέμε στα Μαθηματικά όριο 1.

Το παράδοξο (παρά την δόξα-γνώμη) συνίσταται στο ότι αν τα κλάσματα αντιστοιχιστούν σε  μήκη ευθυγράμμων διαδοχικών τμημάτων, δημιουργείται η εντύπωση ότι ένας δρομέας κινούμενος σε αυτά δεν μπορεί να καλύψει τη συνολική απόσταση μιας μονάδας μέτρησης, αφού πάντα θα υπάρχει ένα ακόμα τμήμα να διανύσει.

Μια μονάδα στο νοητό κόσμο των Μαθηματικών μπορεί να υποδιπλασιάζεται (διαιρείται δια δύο) άπειρο πλήθος φορών. Μπορεί να γίνει μια τέτοια αντίστοιχη υλική διαίρεση σε ένα αισθητό-υλικό τμήμα; Τα περίφημα «παράδοξα» «του Αχιλλέα και της χελώνας» ή της «διχοτομίας», που αποδίδονται στον Ελεάτη φιλόσοφο Ζήνωνα, εισάγουν στον προβληματισμό για τη σχέση νοητών κατασκευ­ών, όπως του αθροίσματος  του απείρου πλήθους όρων : ½ + ¼ + 1/8 + 1/16+ 1/32 + … , ή της άπειρης διχοτόμησης  ενός τμήματος, με τον κόσμο των αισθητών-υλικών φαινομένων. Ουσιαστικά έθεσαν τις βάσεις του διαλόγου, ο οποίος πήρε πιο τυπική μορφή λίγο αργότερα με τον Εύδοξο (400-περ. 355π.X.) και τον Αρχιμήδη (περ. 287 π.Χ- 212 π.Χ.). Ο διάλογος αυτός συνεχίστηκε στην Αναγέννηση έως περίπου τα τέλη του 19^ου αιώνα και δημιούργησε τον βασικότερο κλάδο των Μαθηματικών , τον Απειροστικό Λογισμό. Δημιούργησε όμως και αντίστοιχο γόνιμο φιλοσοφικό διάλογο διασύ­νδεσης Μαθη­μα­τικών και Φιλοσοφίας.

Η άρση του παραδόξου αγγίζει τα θεμέλια της Επιστημολογίας των Μαθηματικών και της σύνδεσης Μαθηματικών και Φιλοσοφίας, καθώς εάν ο δρομέας έχει υλικές διαστάσεις είναι προφανές ότι κάποια στιγμή οι διαστάσεις αυτές θα καλύψουν το εναπομένον τμήμα. Αν όμως είναι το νοητό (άυλο και ιδεατό) σημείο των Μαθηματικών, όχι μόνον δεν φθάνει από το αρχικό σημείο Α στο τελικό σημείο Β, αλλά ούτε καν ξεκινάει, καθώς δεν υπόκειται σε κίνηση και χρόνο. 
Το παράδοξο του Ζήνωνος οδηγεί αργότερα τον Πλάτωνα στο ερώτημα για τη φύση του κόσμου (οντολογία) και της γνώσης του (γνωσιολογία). Έτσι διαχωρίζει τον κόσμο σε υλικό-αισθητό και ιδεατό-νοητό ενώ αντίστοιχα τη γνώση στην κατώτερη κατηγορία, προερχόμενη από τις ατελείς ανθρώπινες αισθήσεις και στην ανώτερη γνώση προερχόμενη από τη διάνοια.      

"Άλμπερτ Αϊνστάιν- Ο δημιουργός της σύγχρονης Φυσικής".

12η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 14-12-2017

Στη σημερινή μας συνάντηση παρακολουθήσαμε και σχολιάσαμε το ντοκιμαντέρ  "Άλμπερτ Αϊνστάιν- Ο δημιουργός της σύγχρονης Φυσικής". 
Είδαμε την πορεία της προσωπικής ζωής αλλά και της επιστημονικής σκέψης του μεγάλου επιστήμονα, μέσα από την οποία προσπαθήσαμε να κατανοήσουμε σε αδρές γραμμές, τις διαφορές από τις Νευτώνειες θεωρίες για το χώρο, το χρόνο, τη βαρύτητα, το φως. Τι λέει δηλαδή με απλά λόγια η Ειδική και η Γενική θεωρία της Σχετικότητας, βάζοντας παρακαταθήκες για την διεξοδική επιστημονική ανάλυση του θέματος αργότερα στο Λύκειο και ακόμα αργότερα στο Πανεπιστήμιο.
Σε επόμενη συνάντηση θα παρακολουθήσουμε την ταινία "Einstein and Eddington" στην οποία εξιστορείται η περιπέτεια επαλήθευσης και αποδοχής από την επιστημονική κοινότητα της θεωρίας περί καμπύλωσης του χωροχρόνου με την καθοριστική συνεισφορά του Άγγλου αστρονόμου Eddington, μέσα στο ταραχώδες και δραματικό σκηνικό της εμπόλεμης κατάστασης Αγγλίας - Γερμανίας στον Α παγκόσμιο πόλεμο και κάτω από δραματικές και αντίξοες συνθήκες ακόμα και του καιρού, ο οποίος τελικά επέτρεψε οριακά την πρώτη αστρονομική παρατήρηση επαλήθευσης της καμπύλωσης του φωτός μακρινού άστρου, όταν το φως αυτό συναντήσει τον Ήλιο, ως αποτέλεσμα της καμπύλωσης του χωροχρόνου που προκαλείται από το μεγάλο βαρυτικό πεδίο του Ηλίου. 
Θα συζητήσουμε επίσης τι είναι οι μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες και ποια είναι η σχέση τους με τις θεωρίες Σχετικότητας του Αϊνστάιν αλλά και τις σύγχρονες κοσμολογικές αναζητήσεις.  

Η χρυσή τομή

11η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 14-12-2017

Σήμερα ασχοληθήκαμε με τη χρυσή τομή. Αναλύσαμε την αλγεβρική και τη γεωμετρική της προσέγγιση και είδαμε τις εφαρμογές της στη Φύση, την Τέχνη αλλά και το ανθρώπινο σώμα.

Το "σφυρί του Davinci"

10η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 8-12-2017
Σήμερα συναρμολογήσαμε ένα μοντέλο προσομοίωσης της συσκευής "σφυρί του Νταβίντσι" (Davinci cam hammer). (Μία συσκευή ανά 4 μαθητές).

 Η συσκευή αυτή μετατρέπει την περιστροφική περιοδική κίνηση ενός κοχλία σε ευθύγραμμη μιας εφαπτόμενης ράβδου. Για την μοντελοποίηση ενός φαινομένου στο οποίο μία κίνηση (του κοχλία) ενεργεί ως αίτιο και παράγει μια άλλη κίνηση της (ράβδου) ως αποτέλεσμα, χρειαζόμαστε την έννοια της συνάρτησης. Από τις κατάλληλες μετρήσεις προέκυψε ο τύπος και η γραφική παράσταση της συνάρτησης του ύψους της ράβδου σε σχέση με τη γωνία του κοχλία.
Σημ. Ο κοχλίας της συγκεκριμένης συσκευής, είναι τμήμα της σπείρας του Αρχιμήδη. 

Συζητήσαμε τις προεκτάσεις χρήσης αυτής της συσκευής (ραπτομηχανές, κινητήρες αυτοκινήτων κλπ) και παρακολουθήσαμε σχετικά video.

To λήμμα του Sperner

9η ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ - ΠΕΜΠΤΗ 8-12-2017

Σήμερα προσπαθήσαμε να δώσουμε τη μαθηματική μοντελοποίηση της ευθύγραμμης εκδοχής του  λήμματος Sperner.(Στοιχειώδης εισαγωγή στη μαθηματική επαγωγή).
Επίσης συζητήσαμε το "δίλημμα του φυλακισμένου", βασικό και ενδεικτικό πρόβλημα εισαγωγής στη θεωρία παιγνίων.
Κατόπιν παρακολουθήσαμε τμήμα της ταινίας "Donald in MathLand" με βάση την οποία σε επόμενη συνεδρίαση θα συζητήσουμε το θέμα : "Η χρυσή τομή στη Φύση, την Τέχνη και τα Μαθηματικά" .